| 我们先来回忆一下初等数学中学习的数列的概念。
数列
若按照一定的法则，有第一个数a1，第二个数a2，…，依次排列下去，使得任何一个正整数n对应着一个确定的数an，那末，我们称这列有次序的数a1，a2，…，an，…为数列.
数列中的每一个数叫做数列的项。第n项an叫做数列的一般项或通项.
注：我们也可以把数列an看作自变量为正整数n的函数，即：an= ，它的定义域是全体正整数
极限
极限的概念是求实际问题的精确解答而产生的。
例：我们可通过作圆的内接正多边形，近似求出圆的面积。
设有一圆，首先作圆内接正六边形，把它的面积记为A1；
再作圆的内接正十二边形，其面积记为A2；
再作圆的内接正二十四边形，其面积记为A3；
依次循下去(一般把内接正6×2n-1边形的面积记为An)可得一系列内接正多边形的面积：A1，A2，A3，…，An，…，它们就构成一列有序数列。
我们可以发现，当内接正多边形的边数无限增加时，An也无限接近某一确定的数值(圆的面积)，这个确定的数值在数学上被称为数列A1，A2，A3，…，An，…
当n→∞(读作n趋近于无穷大)的极限
注：上面这个例子就是我国古代数学家刘徽(公元三世纪)的割圆术。
数列的极限
一般地，对于数列 来说，
若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切 不等式
都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a
.
记作： 或
注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。
且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。
注：在此我们可能不易理解这个概念，下面我们再给出它的一个几何解释，以使我们能理解它。
数列极限为a的一个几何解释：
将常数a及数列在数轴上用它们的对应点表示出来，再在数轴上作点a的ε邻域即开区间(a-ε，a+ε)，如下图所示：
因不等式与不等式 等价，故当n＞N时，所有的点都落在开区
间(a-ε，a+ε)内，而只有有限个(至多只有N个)在此区间以外。
注：至于如何求数列的极限，我们在以后会学习到，这里我们不作讨论。
数列的有界性
对于数列，若存在着正数M，使得一切都满足不等式││≤M，则称数列是有界的，若正数M不存在，则可说数列是无界的。
定理：若数列收敛，那末数列一定有界。
注：有界的数列不一定收敛，即：数列有界是数列收敛的必要条件，但不是充分条件。
例：数列 1，-1，1，-1，…，(-1)n+1，…
是有界的，但它是发散的。 |