级数的概念及其性质

  我们在中学里已经遇到过级数——等差数列与等比数列，它们都属于项数为有限的特殊情形。下面我们来学习项数为无限的级数，称为无穷级数。
无穷级数的概念
  设已给数列a₁,a₂,…,a_n,…把数列中各项依次用加号连接起来的式子a₁+a₂+…+a_n+…称为无穷级数，简称级数.记作：或，即：=a₁+a₂+…+a_n+…，数列的各项a₁,a₂,…称为级数的项，a_n称为级数的通项.
  取级数最前的一项，两项，…，n项，…相加，得一数列S₁=a₁，S₂=a₁+a₂，…，S_n=a₁+a₂+…+a_n，… 这个数列的通项S_n=a₁+a₂+…+a_n称为级数的前n项的部分和，该数列称为级数的部分和数列。
  如果级数的部分和数列收敛：，那末就称该级数收敛，极限值S称为级数的和。
  例题：证明级数：的和是1.
  证明：
        当n→∞时，Sn→1.所以级数的和是1.
级数的性质

  1.级数收敛的必要条件：收敛的级数的通项a_n当n→∞时趋于零，即：
  注意：此条件只是级数收敛的必要条件，而不是充分条件。
  例如：级数虽然在n→∞时，通项，级数却是发散的。
        此级数为调和级数，在此我们不加以证明。
  2.如果级数收敛而它的和是S，那末每一项乘上常数c后所得到的级数，也是收敛的，而且它的和是cS.如果发散，那末当c≠0时也发散。
  3.两个收敛的级数可以逐项相加或相减。
  4.在任何收敛的级数中，不改变连在一起的有限项的次序而插入括号，所得的新级数仍收敛，其和不变。
  注意：无限项的所谓和是一种极限，与有限项的和在本质上是有区别的。
  5.在一个级数的开头添入或去掉有限个项并不影响这个级数的收敛或发散。

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