正项级数的收敛问题

  对于一个级数，我们一般会提出这样两个问题：它是不是收敛的？它的和是多少？显然第一个问题是更重要的，因为如果级数是发散的，那末第二个问题就不存在了。下面我们来学习如何确定级数的收敛和发散问题。
  我们先来考虑正项级数(即每一项a_n≥0的级数）的收敛问题。
判定正项级数敛散性的基本定理
  定理：正项级数收敛的充分与必要条件是部分和S_n上有界.如果S_n上无界，级数发散于正无穷大。
  例如：p级数：，当p>1时收敛，当p≤1时发散。
  注意：在此我们不作证明。
正项级数的审敛准则
  准则一：设有两个正项级数及，而且a_n≤b_n(n=1,2,…）.如果收敛，那末也收敛；如果发散，那末也发散.
  例如：级数是收敛的，因为当n>1时，有≤，而等比级数是收敛的
  准则二：设有两个正项级数与，如果那末这两个级数或者同时收敛，或者同时发散。
  关于此准则的补充问题
  如果，那末当收敛时，也收敛；如果，那末当发散时，也发散.
  例如：是收敛的.因为，而是收敛的.
  注意：以上这两个准则来判定一个已知级数的敛散性，都需要另选一个收敛或发散的级数，以资比较.下面我们来学习两个只依赖于已知级数本身的审敛准则.
  准则三：设有正项级数.如果极限存在，那末当λ＜1时级数收敛，λ＞1时级数收敛.
  注意：此准则就是达朗贝尔准则.这种判定方法称为检比法.
  例如：级数是收敛的，因为当n→∞时，.
  准则四(柯西准则)：如果极限存在，那末当λ＜1级数收敛，λ＞1级数发散.
  例如：级数是发散的，因为当n→∞时，

[返回页首][关闭窗口]

爱华女子网校版权所有，如若转载请联系我们