函数项级数

函数项级数、幂级数

在自然科学与工程技术中运用级数这一工具时，经常用到不是常数项的级数，而是函数项的级数.而常数项级数是研究函数项级数的基础。
函数项级数的概念
设有函数序列，，其中每一个函数都在同一个区间I上有定义，那末表达式称为定义在I上的函数项级数。
下面我们来学习常见而应用广泛的一种具有如下形式的函数项级数：

它们的各项都是正整数幂的幂函数.这种级数称为幂级数，其中c_n(n=0,1,2,…)均为常数.
显然，当上面级数中的变量x取定了某一个值x₀时，它就变为一个常数项级数。
幂级数的收敛问题
与常数项级数一样，我们把称为幂级数的部分和。如果这部分和当n→∞时对区间I中的每一点都收敛，那末称级数在区间I收敛。此时s_n(x)的极限是定义在区间I中的函数，记作:s(x). 这个函数s(x)称为级数的和函数，简称和，记作：
对于幂级数，我们关心的问题仍是它的收敛与发散的判定问题，下面我们来学习关于幂级数的收敛的判定准则。
幂级数的审敛准则
准则：设有幂级数.如果极限，那末，当时，幂级数收敛，而且绝对收敛；当时，幂级数发散，其中R可以是零，也可以是+∞.
由上面的准则我们可知：幂级数的收敛区间是关于原点对称的区间.在这个区间内级数收敛，在这个区间外级数发散.区间称为幂级数的收敛区间，简称敛区。正数R为幂级数的收敛半径.
关于此审敛准则问题
讨论幂级数收敛的问题主要在于收敛半径的寻求。当时，级数的敛散性不能由准则来判定，需另行讨论。
例题：求幂级数的收敛区间.
解答：该级数的收敛半径为：

        所以此幂级数的敛区是（-5，5）.
        在x=5与x=-5，级数分别为前者发散，后者收敛.
        故级数的收敛区间是[-5,5)
幂级数的性质
性质1：设有两个幂级数与，如果
          =f₁(x)，-R₁<x<R₁
          =f₂(x)，-R₂<x<R₂
        则=f₁(x)±f₂(x)，-R<x<R 其中R=min(R₁,R₂)
性质2：幂级数的和s(x)在敛区内时连续的.
性质3：幂级数的和s(x)在敛区内的任一点均可导，且有逐项求导公式：
                =
         求导后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
性质4：幂级数的和s(x)在敛区内可以积分，并且有逐项积分公式：

         积分后所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径。
由以上这些性质可知：幂级数在其敛区内就像普通的多项式一样,可以相加,相减,可以逐项求导,逐项积分。

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