导数的概念

在学习到数的概念之前，我们先来讨论一下物理学中变速直线运动的瞬时速度的问题。
例：设一质点沿x轴运动时，其位置x是时间t的函数，，求质点在t₀的瞬时速度？

   我们知道时间从t₀有增量△t时，质点的位置有增量
                         ，
   这就是质点在时间段△t的位移。因此，在此段时间内质点的平均速度为：
                         .
   若质点是匀速运动的则这就是在t₀的瞬时速度，若质点是非匀速直线运动，则这还不是质点在t₀时的瞬时速度。
   我们认为当时间段△t无限地接近于0时，此平均速度会无限地接近于质点t₀时的瞬时速度，
   即：质点在t₀时的瞬时速度=
   为此就产生了导数的定义，如下：
导数的定义
   设函数在点x₀的某一邻域内有定义，当自变量x在x₀处有增量△x(x+△x也在该邻域内)时，相应地
   函数有增量
                       ，
   若△y与△x之比当△x→0时极限存在，则称这个极限值为在x₀处的导数。
                       记为：还可记为：，
   函数在点x₀处存在导数简称函数在点x₀处可导，否则不可导。
   若函数在区间(a,b)内每一点都可导，就称函数在区间(a,b)内可导。这时函数对于区
   间(a,b)内的每一个确定的x值，都对应着一个确定的导数，这就构成一个新的函数，
   我们就称这个函数为原来函数的导函数。
    注：导数也就是差商的极限

左、右导数
   前面我们有了左、右极限的概念，导数是差商的极限，因此我们可以给出左、右导数的概念。
   若极限存在，我们就称它为函数在x=x₀处的左导数。
   若极限存在，我们就称它为函数在x=x₀处的右导数。
   注：函数在x₀处的左右导数存在且相等是函数在x₀处的可导的充分必要条件

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