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我们先来看一个实际问题———求曲边梯形的面积。
设曲边梯形是有连续曲线y=f(x)、x轴与直线x=a、x=b所围成。如下图所示：
现在计算它的面积A.我们知道矩形面积的求法，但是此图形有一边是一条曲线，该如何求呢？
我们知道曲边梯形在底边上各点处的高f(x)在区间[a,b]上变动，而且它的高是连续变化的，因此在很小的一段区间的变化很小，近似于不变，并且当区间的长度无限缩小时，高的变化也无限减小。因此，如果把区间[a,b]分成许多小区间，在每个小区间上，用其中某一点的高来近似代替同一个小区间上的窄曲变梯形的变高，我们再根据矩形的面积公式，即可求出相应窄曲边梯形面积的近似值，从而求出整个曲边梯形的近似值。
显然：把区间[a,b]分的越细，所求出的面积值越接近于精确值。为此我们产生了定积分的概念。
定积分的概念
设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入若干个分点
a=x0<x1<...<xn-1<xn=b
把区间[a,b]分成n个小区间
[x0，x1]，...[xn-1,xn],
在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(xi-1≤ξi≤xi),作函数值f(ξi)与小区间长度的乘积f(ξi)△xi，
并作出和 ，
如果不论对[a,b]怎样分法，也不论在小区间上的点ξi怎样取法，只要当区间的长度趋于零时，和S总趋于确定的极限I，
这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，
记作 。
即：
关于定积分的问题
我们有了定积分的概念了，那么函数f(x)满足什么条件时才可积？
定理（1）：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积。
（2）：设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。
定积分的性质
性质(1)：函数的和(差)得定积分等于它们的定积分的和(差）.
即：
性质(2)：被积函数的常数因子可以提到积分号外面.
即：
性质(3)：如果在区间[a,b]上，f(x)≤g(x)，则≤
（a<b)
性质(4)：设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，则
m(b-a)≤≤M(b-a)
性质(5)：如果f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在一点ξ，使下式成立：
=f(ξ)(b-a)
注：此性质就是定积分中值定理。 |