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我们前面所学的函数的自变量的个数都是一个，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往是两个，或者更多。
例：一个圆柱体的体积 与两个独立变量r,h有关。`
我们先以二个独立的变量为基础，来给出二元函数的定义。
二元函数的定义
设有两个独立的变量x与y在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量z称为变量x与y的二元函数。
记作：z=f(x,y). 其中x与y称为自变量，函数z也叫做因变量，自变量x与y的变域D称为函数的定义域。
关于二元函数的定义域的问题
我们知道一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间.二元函数的定义域通常是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面.这样的部分在平面称为区域.围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭域，不包括边界在内的区域称为开域。
如果一个区域D(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数M，则称D为有界区域；否则称D为无界区域。常见的区域有矩形域和圆形域。如下图所示：
例题：求 的定义域.
解答：该函数的定义域为：x≥ ,y≥0.
二元函数的几何表示
把自变量x、y及因变量z当作空间点的直角坐标，先在xOy平面内作出函数z=f(x,y)的定义域D；再过D域中得任一点M(x,y)作垂直于xOy平面的有向线段MP,使其值为与(x,y)对应的函数值z；
当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数z=f(x,y)的几何图形.它通常是一张曲面，
其定义域D就是此曲面在xOy平面上的投影。 |