|
在一元函数中，我们已经知道导数就是函数的变化率。对于二元函数我们同样要研究它的"变化率"。然而，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多.在xOy平面内，当变点由(x0,y0)沿不同方向变化时，函数f(x,y)的变化快慢一般说来时不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)点处沿不同方向的变化率。
在这里我们只学习(x,y)沿着平行于x轴和平行于y轴两个特殊方位变动时f(x,y)的变化率。
偏导数的定义
设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地函数
z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)
△xz=f(x0+△x)-f(x0,y0).
如果△xz与△x之比当△x→0时的极限
 存在，
那末此极限值称为函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数。
记作：f'x(x0,y0)或
关于对x的偏导数的问题
函数z=f(x,y)在(x0,y0)处对x的偏导数，实际上就是把y固定在y0看成常数后，一元函数z=f(x,y0)在x0处的导数
同样，把x固定在x0,让y有增量△y,如果极限
 存在，
那末此极限称为函数z=(x,y)在(x0,y0)处对y的偏导数.
记作f'y(x0,y0)或
偏导数的求法
当函数z=f(x,y)在(x0,y0)的两个偏导数f'x(x0,y0)与f'y(x0,y0)都存在时，
我们称f(x,y)在(x0,y0)处可导。如果函数f(x,y)在域D的每一点均可导，
那末称函数f(x,y)在域D可导。
此时，对应于域D的每一点(x,y)，必有一个对x(对y)的偏导数，因而在域D确定了一个新的二元函数，
称为f(x,y)对x(对y)的偏导函数。简称偏导数。
例题：求z=x2siny的偏导数
解答：把y看作常量对x求导数，得
把x看作常量对y求导数，得
注意：二元函数偏导数的定义和求法可以推广到三元和三元以上函数。
例题：求 的偏导数。
解答：我们根据二元函数的偏导数的求法来做。
把y和z看成常量对x求导，得 .
把x和z看成常量对y求导，得 .
把x和y看成常量对z求导，得 .
高阶偏导数
如果二元函数z=f(x,y)的偏导数f'x(x,y)与f'y(x,y)仍然可导，
那末这两个偏导函数的偏导数称为z=f(x,y)的二阶偏导数。
二元函数的二阶偏导数有四个：f"xx，f"xy，f"yx，f"yy.
注意：f"xy与f"yx的区别在于：前者是先对x求偏导，然后将所得的偏导函数再对y求偏导；后者是先对y求偏导再对x求偏导.当f"xy与f"yx都连续时，求导的结果于求导的先后次序无关。
例题：求函数 的二阶偏导数.
解答： ， ， |