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在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。
二元函数极值的定义
如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式：
f(x,y)≤f(x0,y0)
成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式：
f(x,y)≥f(x0,y0)
成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极小值f(x0,y0).
极大值与极小值统称极值.使函数取得极值的点(x0,y0)称为极值点.
二元可导函数在(x0,y0)取得极值的条件是： .
注意：此条件只是取得极值的必要条件。
凡是使的点(x,y)称为函数f(x,y)的驻点.可导函数的极值点必为驻点，但驻点却不一定是极值点。
二元函数极值判定的方法
设z=f(x,y)在(x0,y0)的某一邻域内有连续的二阶偏导数.如果，那末函数f(x,y)在(x0,y0)取得极值的条件如下表所示：
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△=B2-AC |
f(x0,y0) |
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△＜0 |
A＜0时取极大值 |
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A＞0时取极小值 |
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△＞0 |
非极值 |
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△=0 |
不定 |
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其中
例题：求 的极值。
解答：设 ,则
 ， .
 .
解方程组 ，得驻点(1,1),(0,0).
对于驻点(1,1)有 ,故
B2-AC=(-3)2-6.6=-27＜0，A=6＞0
因此，在点(1,1)取得极小值f(1,1)=-1.
对于驻点(0,0)有 ,故
B2-AC=(-3)2-0.0=9＞0
因此，在点(0,0)不取得极值.
多元函数的最大、最小值问题
我们已经知道求一元函数极大值、极小值的步骤，对于多元函数的极大值、极小值的求解也可采用同样的步骤。下面我们给出实际问题中多元函数的极大值、极小值求解步骤。如下：
a)：根据实际问题建立函数关系，确定其定义域；
b)：求出驻点；
c)：结合实际意义判定最大、最小值.
例题：在平面3x+4y-z=26上求一点，使它与坐标原点的距离最短。
解答：a)：先建立函数关系,确定定义域
求解与原点的距离最短的问题等价于求解与原点距离的平方
最小的问题.但是P点位于所给的平面上,故z=3x+4y-26.把它代入上式便得到我们所需的函数关系:
 ,-∞＜x＜+∞,-∞＜y＜+∞
b)：求驻点
解 得唯一驻点x=3，y=4.由于点P在所给平面上,故可知
z=-1
c)：结合实际意义判定最大、最小值
由问题的实际意义可知，原点与平面距离的最小值是客观存在的，且这个最小值就是极小值.而函数
仅有唯一的驻点.所以，平面上与原点距离最短的点为P(3,4,-1).
从上例我们可以看出，上面函数关系也可看成是：求三元函数
，
在约束条件
3x+4y-z=26
下的最小值.一个多元函数在一个或几个约束条件下的极值称为条件极值。 |