可分离变量的微分方程与齐次方程

   下面我们来学习用积分法解一阶微分方程的问题。
   并不是所有的一阶微分方程都可以用积分法求解，只有一些特殊形式的一阶微分方程可以用积分法求解，并且解法也各不相同。因此，我们学习时要认清各种微分方程的特点及它们的解法。
可分离变量的微分方程
   这种方程的形式为：
   我们往往会以为将上式两端积分即可求解。其实是不对的。因为两端积分后，得，右端是什么也求不出的，所以求不出y来。
   其正确解法为：设y=y(x)为所求的解，于是当y=y(x)时，有
           ，即
   这一步把y的函数及dy与x的函数及dx分开了，称为分离变量，这是求解的关键的一步，下一步我们就可由不定积分换元法进行求解了。
   例题：求方程的通解。
   解答：这是一个可分离变量的方程，分离变量后得
          
         两端分别积分，得
          
         令，得
              这就是该方程的通解。
齐次微分方程
   这种微分方程的形式为：
   它也不能由两端积分求解。其求解步骤为：
   令，则，y的微分方程就化成了u的微分方程
           即：
   这就化成了可分离变量的微分方程，再由上面我们所学的方法就可求出方程的通解。
   例题：求方程的特解。
   解答：这是一个齐次方程。令y=ux代入，得
           
         分离变量后，得
           
         两端分别积分，得
                或   其中
         代回u=y/x，得原方程的通解为
         将初始条件y(0)=1代入，得 C=1.
         所以满足初始条件的特解为
            

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