线性微分方程

线性微分方程
   这种微分方程的形式为：，其中，p,q与y,y'无关，但可以与x有关.它对y与y'而言是一次的，故被称之为一阶线性微分方程。
   当q=0时称为齐次线性微分方程；当q≠0时称为非齐次线性微分方程。
齐次线性微分方程的解法
   齐次线性微分方程的形式为：
   此方程是可分离变量的微分方程，分离变量后，得：，这就可以由我们前面所学的方法进行求解。
   例题：求的一般解。
   解答：由此方程可得，故
         因此该方程的一般解为：
非齐次线性微分方程的解法
   非齐次线性微分方程的形式为：
   这种方程的解法为：先求出其对应的齐次线性微分方程的一般解，然后把c看作x的函数，再代到非齐次线性微分方程中来决定c，使它能满足非齐次微分方程。
   中把c作为x的函数求导数比c作为常数求导数要多处一项：，所以中c作为x的函数代入微分方程就得到.
   所以只要，即就可使非齐次线性微分方程得到满足，即为所求的一般解。
   上面我们说学的这种解法被称为Lagrange常数变易法。
   例题：求解
   解答：相应齐次线性微分方程的一般解为：
         把c看成x的函数代入得：
         因此：c'=x(x+1)
         ∴
       　故：就是非齐次线性微分方程的一般解。

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