可降阶的高阶方程

   求解高阶微分方程的方法之一是设法降低方程的阶数。下面我们以二阶方程为例来学习三种可以降阶的方程。
1.右端仅含x的方程：y"=f(x)
   对这类方程，只须两端分别积分一次就可化为一阶方程
             ，
   再次积分，即可求出方程得通解。
            
   例题：求方程y"=cosx的通解。
   解答：一次积分得：
            
         二次积分即得到方程得通解：
            
2.右端不显含y的方程：y"=f(x,y')
   我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是新的未知函数，x仍是自变量，于是，代入原方程得：
         
   这就是一个一阶方程，然后即可由我们前面学的方法进行求解了。
   例题：求方程的通解。
   解答：令y'=p.，代入方程，得
            
         分离变量后，得
            
         积分，得
             .即
         再积分，即得原方程的通解：
             .
3.右端不显含x的方程：y"=f(y,y')
   我们为了把方程降阶，可令y'=p，将p看作是自变量y的函数，有
            
   代入原方程，得
            
   这是关于p的一阶方程，我们可由此解出通解，然后再代入原方程求解，即可。
   例题：求方程的通解
   解答：令代入原方程得：
             
         它相当于两个方程：
             
         由第一个方程解得：y=C;
         第二个方程可用分离变量法解得
               p =C₁y
         从而
              
         由此再分离变量，解得：
              
         这就是原方程的通解（解y=C包含在这个解中）

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