二阶常系数齐次线性方程的解法

   前面我们已经知道了，无论是线性齐次方程和非齐次方程，它们的通解结构虽然知道，但通解的寻求却是建立在已知特解的基础上。但是，即使对二阶线性齐次方程，特解的寻求也没有一般的方法。但是对于常系数的二阶线性齐次方程，它的通解可按一定的方法很容易求的。
二阶线性齐次方程的解法
   二阶线性齐次方程的一般形式为：，其中a₁，a₂为实常数。
   我们知道指数函数e^ax求导后仍为指数函数。利用这个性质，可适当的选择常数ρ，使e^ax满足方程上面的方程。我们可令：，代入上面的方程得：

   因为e^ax≠0，所以：

   这样，对于上面二次方程的每个根ρ，e^ax就是方程的一个解。方程就被称为方程的特征方程。根据这个代数方程的根的不同性质，我们分三种不同的情况来讨论：
   1.特征方程有两个不等的实根的情形
   设此两实根为。于是是齐次方程的两个特解，由于它们之比不等于常数，所以它们线性独立，因此，方程的通解为：
                     其中c₁，c₂为实常数。
   2.特征方程有重根的情形
   此时特征方程的重根应为：，于是只能得到的一个特解：，我们可根据常数变易法再求其另一个特解为：.于是方程的通解为:

   3.特征方程有共轭复根的情形
   设共轭复根为，那末是方程的两个线性独立的解，但是这种复数形式的解使用不方便，为了得到实数形式的解，利用欧拉公式：，为此可以得到方程的通解：

   由上面可知，求二阶常系数线性齐次方程通解的步骤为：
       1.对照方程写出其特征方程：；
       2.求出特征方程的两个根：ρ₁_，ρ₂
       3.根据ρ₁_，ρ₂是不同实根，相同实根，共轭复根，分别利用上面的公式写出原方程的通解。
   例题：求方程的通解.
   解答：此方程的特征方程为：

         它有两个不相同的实根，因此所求的通解为：

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