爱华网细算开普勒第三定律
古人云：隔行如隔山，外行看热闹，内行看门道。人世间360行，行行如此。做学问可能也算一行，我这个人有个坏毛病，明明是外行，爱看热闹，也看门道，凡事都要刨根问底，从不不懂装懂,人云亦云,惹人讨厌，年青时就因指疑开普勒第三定律，挨过老师－顿臭骂。时过境迁，现在我老了，想找－个年青人去骂都找不到，反而被他们骂：这个老头，不识时务。我也不怪他们，因为，识时务者为俊杰吗，这也是为人之道。他们跟在导师屁股后面做学问写文章混口饭吃也不容易。
最近退休在家，恶习不改，又按开普勒第三定律算了十几组慧星轨道。还真是不算不知道，一算吓一跳，难道著名的开普勒第三定律也有不足！因此，又翻出陈年老书反复对照数据，才发现，原来所有计算太阳系中沿椭圆轨道运行的星体只有一个公式，是牛顿给我们留下的万有引力定律：
F=GMm/R^2=m*V^2/R,整理后有V^2*R=GM(1)
将公式(1)写成：（2πR/T）^2*R=GM, R^3/T^2=GM/4π^2(2)
公式(2) 就是开普勒第三定律。
若将公式（1）写成：V^2*V*T/2π=GM, V^3*T/2π=GM(3)
公式(3)就是笔者给出的式子。在这些公式中，GM是引力常数乘太阳质量，V是星体平均轨道速度,T是公转周期，R是等效圆轨道半径。
因此，当星体椭圆轨道偏心率e小于0.4时，不管用那个公式去算都误差不大，但当e大于0.4以后，如仍按开普勒第三定律计算就会产生麻烦，因为，不管用什么数学方法去论证开普勒第三定律，都不能违反一个事实：按牛顿万有引力定律计算的等效圆周长必须等于星体公转椭圆轨道周长。有
2πR=2πb+4*(a-b)(4)
式中R是等效圆半径,a和b分别是星体椭圆轨道半长径和半短径。
令,半长径a=1, 半短径分b别取0.999→0变化,椭圆轨道偏心率e=[√(a^2-b^2)]/a, 图1表明当半短径分b由0.999→0时, 偏心率e从0→1,图中曲线的斜率R/a→0.63, 在任何情况下都有R≤a, 因此,计算所有绕太阳的星体椭圆轨道必须同时满足牛顿万有引力公式(1),(2),(3) 和公式(4),而不由开普勒第三定律椭圆半长轴a=R决定的。
图1 等效圆半径R与椭圆半长径a
以哈雷慧星计算为例说明，据观则哈雷公转周期T=76.2年==2404728622(秒),近日点距：
q=8.78*10^10(米),按开普勒第三定律计算设定偏心率e=0.967, 则半长径a与半短径分别为：
a= q/(1-e)=8.78*10^10/(1-0.967)=2.66*10^12(米)
b= a*√(1-e^2)=6.78*10^11(米)
常数K2= a^3/T^2=3.25*10^18(米^3/秒^2),满足公式(2), 按等效圆R= a计算平均公转速度为V=2πR /T =6950（米/秒）, 将V值代入公式(1) 和公式(3)也较为符合。下面计算等效圆与椭圆周长：
L2=2πR =1.67*10^13(米),L=2πb+4(a-b)=1.22*10^13,L2大于L约1.37倍, 违反能量守恒定律。
如果把哈雷慧星的偏心率调整别e=0.9768,慧星轨道半长径a与半短径b分别为：
a= q/(1- e)=8.78*10^10/(1-0.9768)=3.78*10^12(米)
b=a*√(1-e^2)=3.78*10^12*0.213=8.1*10^11(米)
椭圆轨道周长：L=2πb+4(a-b)=1.697*10^13(米)
等效圆轨道半径:R= L/2π=2.7*10^12(米),
平均轨道速度为：V=1.697*10^13/(76.2*365.256*24*60*60)=7057(米/秒),
调整后的参数同时满足公式(1),(2),(3)和(4)。但是，按半长轴a=3.78*10^12(米)与开普勒第三定律计算K2相差近1.5倍。同样的问题也存在偏心率大于0.95以上的其它慧星，比如，偏心率为e=0.993梅利什慧星,调整到e=0.9954才与牛顿的万有引力公式(1) ,(2),(3) 和(4)相符。如果用调整星体偏率人为的方法将使开普勒第三定律完全失去在理论上意义。难怪按传统计算方法，美国航天局发射的“舒梅克”号探测器的飞行速度就比预计的要快得多。这使笔者感到开普勒第三定律计算存在严重的问题。
