关于梅森素数是否有无穷多个的判定方法 梅森素数有什么用

关于梅森素数是否有无穷多个的判定方法

在网上读到了《梅森素数：千年不休的探索之旅》一文，知道在2300多年前，古希腊的数学家，那位写出不朽的《儿何原本》的欧儿里得证明了素数有无穷多个之后，就顺便指出：有许多素数可以写成2^p-1的形式，其中指数p也是素数。

在网上又读到梅森数的《百科名片》，它将关于梅森数的概念、由来、位数计算、探索历程和意义的资料都编辑到一起，内容十分珍贵。千百年来一直吸引着众多的数学家和数学爱好者对它进行研究；虽然已经揭示了一些规律，但围绕着它然有许多未解之谜，等待着人们去探索。文章最后说，有必要指出的是：素数有无穷多个，这一点早为欧儿里得发现并证得。然而，梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题，而揭开这一未解之谜，正是科学家追求的目标。

对于这个“数学难题”，我想直爽地讲述自己的看法，供大家参考，并希望共同探讨。

一、所有素数都分布在6倍自然数的两侧，即6N-1和6N+1二条算术级数的数列里，我把6N-1（N为自然数）称为左素数，6N+1称为右素数，这两条数列里除了包含全部的真素数外，还包含了大量的假素数即合数。

其原理是：自然数列1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13...............先去掉2和3的整倍数，数列变成1、--5、7--11、13--17、19--23、25.....

这个数列可以用6N±1未概括，“即6倍自然数的两侧”。事先去掉的都是数因子为2和3的整倍数，即合数，我称它为假素数，真素数则一个也没有去掉，都在6N±1数列里。

二、梅森数2^p-1（p为素数）是包含在2ⁿ-1（n为自然数）数列里，2¹=2、2²=4、2³=8、2⁴=16、2⁵=32、2⁶=64、2⁷=128、2⁸=256..........它的规律是n每增加1，2ⁿ的值就翻一倍，其尾数是2、4、8、6、2、4、8、6.....四个数字循环。

2ⁿ-1对应的数值是2¹-1=1、2²-1=3、2³-1=7、2⁴-1=15、2⁵-1=31、2⁶-1=63、2⁷-1=127、2⁵-1=255........其尾数是1、3、7、5、1、3、7、5......四个数字循环。

更有趣的是n为偶数时2ⁿ-1的数值都是合数，其尾数是3和5，正巧也是合数的素因子。

n是奇数时2ⁿ-1的值有素数也有合数，其尾数为1和7，详细内容请看本人发表的上一篇文章《揭开梅森素数的奥秘》其中的2ⁿ和2ⁿ-1数列分析表。

p是素数属于奇数（2除外），当2^p-1等于合数时称为梅森数，只有2^p-1等于素数时才称为梅森素数。

三、2ⁿ-1的数值属于8N-1数列（n和N为自然数），其值为1、3、7、15、31、63、127、255........（其中1、3小于8-1，除外）。

2^p-1数列的值为2²-1=3、2³-1=7、2⁵-1=31、2⁷-1=127..........也属于8N-1数列，其中3除外，由于素数p不同于自然数，不是连续的，再有n和p都是2的指数，故结果不能象8N-1那样的算术级数，N每增加1,8N-1就增加8，而是跳跃地呈8的整倍数增长。

与梅森数相似的，也是同时代出现的法国数学家费马数形式为

Fn=2^2∧n+1，n为自然数，其相应的值是，

F0=2^2∧0+1=2¹+1=2+1=3

F1=2^2∧1+1=2²+1=4+1=5

F2=2^2∧2+1=2⁴+1=16+1=17

F3=2^2∧3+1=2⁸+1=256+1=257

F4=2^2∧4+1=2¹⁶+1=65536+1=65537

F5=2^2∧5+1=2³²+1=4294967296+1=4294967297

费马数除3、5外，属于8N+1数列，由于是双重指数形式，其数值比梅森数跳跃得更快。

四、只有在8N-1与6N+1的数值相同时才能找到梅森素数或梅森数，因为8N-1数列也含有部分素数。6N±1数列则包含了全部素数，只有与6N+1数列重叠，即数值相等时，才能确定这个值是素数或假素数。

例如2³-1=8-1=6+1=7

2⁵-1=32-1=6*5+1=32-1=30+1=31

2⁷-1=128-1=6*21+1=127=126+1=127

2¹¹-1=2048-1=6*341+1=2048-1=2046+1=2047

指数n=3、5、7、11都是素数相当于p，即2^p-1的梅生数与6N+1的数列相重叠，即数值相等，其最终值7、31、127是素数，2047含有23和89两个素因子，23*89=2047是假素数，即合数。

同样原理，费马数中的素数是（8N+1）与（6N-1）的数值相同时才能找到。

F2=2^2∧2+1=2⁴+1=16+1=6*3-1=17

F3=2^2∧3+1=2⁸+1=256+1=6*43-1=257=258-1=257

F4=2^2∧4=216+1=65536+1=8*8192+1=65537(8N+1)6*10923-1

=65538-1=65537(6N-1)

17、257、65537均为素数。

五、6N±1数列适合寻找全部素数，请看本人第一篇文《素数分布规律的探索》，

梅森素数和费马素数适合跳跃式地寻找大素数。梅森素数在这方面做出了杰出的贡献，

6N±1是算术级数，自然数N值和素数值6N±1是同步增长仅差6倍，属于同一个数量级。随着自然数的增长，素数值也增长，只是素数与自然数的比例，开始时多，往后明显减少。合数的比例则相反，开始时少，往后明显增加，当自然数趋向无穷大时，出现素数的概率则趋向于零。

由于N的数值很大，一路上累计找到素数的数量也是很大，所以说古希腊数学大师欧几里得早就证明了素数有无穷多个的道理是正确的。当代人设想，既然素数有无穷多个，那么就应该有一个素数数列的公式，为寻找这个公式，人们耗尽了巨大的心血，（参见“百度百科”素数分布）。在数学和计算机科学高度发达的今天为什么发现一个已知的最大的素数都如此困难？找到一个已知的最大梅森素数竟成科学上的大事？！.............

写了这么多是为了对梅森素数是否有无穷多个？这是目前尚未解决的著名数学难题做准备。现在试着来揭开这一未解之谜，因为这个题目是没有肯定，说是，说否都要拿出原理上和事实上的充分理由和根据才能判定。

我的理由之一，素数是包含在6N±1的算术级数之内，素数的值是与自然数的值在相同的数量级内同步增长，当N趋向于无穷大时，6N±1数列上的素数值也趋向于无穷大，6N±1数列除包含全部素数之外，还包含大量的假素数即合数。素数在N小的时候出现概率较大，素数在N大的时候出现概率变小，N为无穷大时出现的概率为零。但前后累加起来的总数量仍然是很大的。这样当N趋向无穷大时，素数的总数量和单个素数的最大值都会趋向无穷大。

理由之二、梅森素数的表达式为Mp=2^p-1,它是指数函数，随着p的增加Mp会呈p次方增加，（见本文表格），当梅森素数的个数为2位数时，梅森素数的值已达到一千万位了。可见随着自然数N的增加梅森素数的值完全能领先于N值趋向无穷大，而梅森素数的个数是无法达到无穷大，因为他们的数量级差距太大。

理由之三、梅森素数的形成必须要8N-1数列和6N+1数列的某个数值相同时才能产生梅森数或梅森素数，这样梅森素数的数量将远小于素数的数量。

理由之四、实际资料有：梅森素数的个数与梅森素数值的位数资料表，和“在某个自然数N以内素数与梅森素数的个数对比表。

在40000自然数以内，素数占自然数的比例为10.05%，应该属同一个数量级或仅相差一个数量级，可称作同步进行。梅森素数值为8191时，仅有5个梅森素数，占数值的0.061%。梅森素数的个数上升到10个时，其数值位数已由4位数上升到27位数。往后上升得更快。（见表），其所占比例已无法用百分数，万分数亿分数来表达了。只好空白起来由读者自己理解了。

理由之五、对于无穷大这个概念，数学书上有明确的定义，但在每个人的心中，也有自己的理解。因为它不是一个确定的数值，也不是象无限小那样以零为极限。在讨论素数个数的场合，我想还是以相对自然数N的个数的发展到什么程度为对比较合适。即自然数趋向到无穷大，素数能同步则称为无穷大，如不能同步，而且落后几个或几十个数量级则不能称无穷大。

有了以上五段关于素数和梅森素数原理的表达，以及五条理由和数据资料，我就对梅森素数是否有无穷多个的“数学难题”提出判定意见。

1、Mp=2^p-1是指数函数，Mp值的增长，大大超过P值的增长，即梅森素数的数值，会大大超过素数的值，提前接近无穷大，但梅森素数的数值不是本题目的内容。

2、证明梅森素数没有无穷多个，并不是难题。因为梅森素数的出现是有条件的。第一，Mp=2^p-1中梅森素数是以素数的数量为基础的，每代入一个素数p，只能产生一个梅生数，其中一部分才是梅森素数。第二，梅森数要在二个算术数列8N-1=6N+1数值相同的情况下才可能产生梅森数，比6N±1要少很多。第三、从梅森素数资料表中看到，它的数值增加得很快，数量且增加得非常之慢。

因为在自然数趋近无穷大时，梅森素数的数量不会同步接近无穷大，甚至差得很远。

3、梅森素数是否有无穷多个的命题，应该是在17世纪时代提出来的，因为那时数学家已证明了素数有无穷多个，而梅森素数只发现不足10个，故提出一个问号梅森素数是否有无穷多个？作为一个数学难题留给后人去解决。

现在看来大家都会判定梅森素数没有无穷多个。

于汉颐

2011.9.21

老汉数数

梅森素数的个数与梅森素数值的位数资料表

梅森素数的 个数号	P（素数）	梅森素数的值	梅森素数值的位数
5	13	8191	4
10	89	618970019...449562111	27
15	1,279	104079321...168729087	386
20	4,423	285542542...608580607	1,332
25	21,701	448679166...51188275	6,533
30	132,049	512740276...730061311	39,751
35	1,398,269	814717564...45131571	420,921
40	20,996,011	125976895...855682047	6,320,430
45	37,156,667	202254406...308220927	11,185,272
46	43,112,609		12,928,189

这里是借用梅森数“百科名片”的资料，足以说明问题。如第45个梅森素数的数值已高达11185272位，即一千一百多万位，10000五位为万，100000000九位为亿，一千多位我都不知道怎样称呼了。与我们常用的素数表里的位数相比真也算靠近无穷大了。

在某个自然数N以内素数与梅森素数的个数对比表

素数

梅森素数：

爱华网本文地址 » http://www.aihuau.com/a/25101010/33686.html