n维向量数量积法证明柯西不等式 柯西不等式的证明方法

构造n维空间（可以超越三维，这里只是理论分析）

其中有从原点O分别指向A、B两点的两个非零向量，分别记为a、b

A点坐标为(a₁,a₂,a₃,…,a_n)，B点坐标为(b₁,b₂,b₃,…,b_n)

则向量a在第一维上的投影为a₁

a在前两维上的投影为(a₁²+a₂²)^1/2

a在前三维上的投影为{[(a₁²+a₂²)^1/2]²+a₃²}^1/2=(a₁²+a₂²+a₃²)^1/2

…………

a在前n维上的投影为(a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²)^1/2

也即其模|a|=(a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²)^1/2

同理可得|b|=(b₁²+b₂²+b₃²+…+b_n²)^1/2

现设第一、二、三、……、n维上的单位向量分别为k₁、k₂、k₃、…、k_n

各维相互垂直，则各单位向量也相互垂直，故有

k_x·k_y=0（x≠y），k_x·k_x=1

将向量a、b改写为坐标形式

a=a₁k₁+a₂k₂+a₃k₃+…+a_nk_n，b=b₁k₁+b₂k₂+b₃k₃+…+b_nk_n

则根据向量内积分配率，有

a·b

=(a₁k₁+a₂k₂+…+a_nk_n)·(b₁k₁+b₂k₂+…+b_nk_n)

=a₁k₁·(b₁k₁+b₂k₂+…+b_nk_n)+a₂k₂·(b₁k₁+b₂k₂+…+b_nk_n)+…+a_nk_n·(b₁k₁+b₂k₂+…+b_nk_n)

=a₁b₁k₁·k₁+a₁b₂k₁·k₂+…+a₁b_nk₁·k_n+a₂b₁k₂·k₁+a₂b₂k₂·k₂+…+a₂b_nk₂·k_n+…+a_nb₁k_n·k₁+a_nb₂k_n·k₂+…+a_nb_nk_n·k_n

=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n

由内积定义，得

a·b=cos∠AOB*|a|*|b|

cos∠AOB=a·b/(|a|*|b|)

cos∠AOB=(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)/[(a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²)^1/2*(b₁²+b₂²+b₃²+…+b_n²)^1/2]

显然，|cos∠AOB|≤1，则

|a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n|/[(a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²)^1/2*(b₁²+b₂²+b₃²+…+b_n²)^1/2]≤1

(a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²)^1/2*(b₁²+b₂²+b₃²+…+b_n²)^1/2≥|a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n|≥0

(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²)≥(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²

若取等号，即|cos∠AOB|=1，两向量共线

则a₁/b₁=a₂/b₂=…=a_n/b_n

以上均为非零向量的情况。若有一向量模为0，则其坐标均为0，不等式形式为0≥0，仍正确

最终得到柯西不等式

(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²)≥(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²

当且仅当a₁/b₁=a₂/b₂=…=a_n/b_n时等号成立

或写做：

Σa_i²*Σb_i²≥(Σa_ib_i)²，当且仅当a_i∝b_i时等号成立

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