爱华网二次函数平移及比较
一、初中所学的三种函数图像平移的对比
（一）解析式
一次函数的解析式 | 反比例函数的解析式 | 二次函数的解析式 |
一次函数y= kx＋b（k≠0） x指数为1 ，b取任意实数。 正比例函数y=kx（k≠0）是一次函数的特例 | 有三种形式①、y=k/x (k≠0，x不能等于0，y≠0） ②、y=kx-1（叫隐函数） ③、k=xy | 有三种形式①、一般式y=ax2+bx+c(a≠0) ②、顶点式y=a(x－h)2+k ③、两根式y=a(x- x1)(x-x2) |
平移口诀“左加，右减，上加，下减” ； 对于平移，一定要在符号x、b的“内部”进行。 | ||
（二）平移的结果
一次函数图像的 平移结果 | 反比例函数图像的 平移结果 | 二次函数图像的 平移结果 |
一次函数的图像在平面直角坐标系中，进行左右、上下平移后其解析式仍为一次函数。 正比例函数的图像在平面直角坐标系中，进行左右、上下平移后其解析式为一次函数（不再是正比例函数）。 | 初中阶段反比例函数不能平移。 这是因为，反比例函数的图像在平面直角坐标系中，进行左右、上下平移后不再是反比例函数（由作图得出），而是形如y=k/(x-m)+n（m、n、k为常数，且k≠0）的“分式函数”，超出了初中数学大纲的要求。反比例函数图像的平移问题，并非目前初中教材中的必学内容或选学内容，仅是与教材配套的《基础训练》中出现的“探索与思考”内容。 | 二次函数的图像在平面直角坐标系中，进行左右、上下平移后其解析式仍为二次函数。 |
（三）平移的规则
一次函数平移规则 | 二次函数顶点坐标的平移规则 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
口诀：左加，右减，上加，下减 符号分工：x管左右,b管上下 平移原则：一定在b、x内部进行 一次函数的原式：y=kx+b 左右移动：y=k(x+n)+b 左加右减 上下移动：y=kx+（b+n）上加下减
| ①、抛物线图像的移动就是其顶点坐标的移动；②、二次项系数a与图像的移动无关。平移口诀：左加，右减，上加，下减 顶点式y=a(x－h)2+k的平移，h管左右，k管上下
一般式y=ax2+bx+c的平移，x管左右，c管上下
|
二、一般式y=ax2+bx+c图像的平移
举例：如果从一般式式子y=x2＋2x＋3开始入题，
要求，y=x2＋2x＋3向右平移1个单位，得到y=(x－1)2＋2(x－1)＋3，
再要求，向下平移2个单位，就得到y=(x－1)2＋2（x－1）＋3－2，
整理后就得到y=x2。
反之，如果从式子y=x2开始入题，根据已知条件使用口诀“左加右减”，提出与上面两项要求的逆向要求，看式子有什么变化：
要求y=x2向左平移1个单位，得到y=(x+1)2
再要求向上平移2个单位，就得到y=(x+1)2+2，根据完全平方公式(a+b)2打开，就得到y=（y=x2＋2x乘1＋1）+2，得到y=x2＋2x＋3。这样就又回到原来的式子了。
三、顶点式y=a(x－h)2+k图像的平移
如果从式子y=(x+1)2+2开始入题（此例子同前面二次函数一般式的举例相同，y=(x+1)2+2即为一般式 y=x2＋2x＋3的变形，不过式子形式和方法不同）。
要求，向右平移1个单位，y=(x+1-1)2+2（左右上下平移口诀：左加右减，上加下减。向右就减），就得到y=x2+2
再要求，向下平移2个单位，y=x2+2-2整理后就得到y=x2。
四、二次函数图像平移就是顶点坐标的平移
（一）、从顶点坐标在原点开始式子的变化
如果，我们从y=x2顶点坐标开始入题，根据已知条件变换坐标数字看顶点坐标有什么变化。
顶点坐标为(0，0)，将(0，0)向左平移1个单位“-1”，向上平移2个单位“+2”，就得到(-1，2)。我们可以用另一种代入法来验算：在 y=x2＋2x＋3中，取出a=1,b=2,c=3,代入顶点坐标公式，果然得h=－1，k=2（-1,2）。
（二）、读顶点坐标式子，观察式子中反映的移动变化
顶点式y=a(x－h)2+k中，h是管左右移动的。
当h>0时，向右平行移动；（因为数轴右方向的数字大）
当h<0时，向左平行移动。
须注意，比如，1/2（x-6）2中，h为+6，不是-6，如果是 1/2（x+6）2，h就是-6。（a是分数时开口很大）
在式子y=a(x-h) 2+k中，对称轴是h，函数图像的顶点坐标是（h,k）;
在式子y=a(x＋h) 2 +k中，对称轴是－h，函数图像的顶点坐标是（－h,k）
例1：y=2(x－6) 2－3中，对称轴是6，函数图像的顶点坐标是（6, －3），式子说明顶点从原点先向右6格，再向下3格。
例2：y=2(x＋6) 2 －3中，对称轴是－6，函数图像的顶点坐标是（－6, －3），式子说明顶点从原点先向左6格，再向下3格。
例3：y=2 x2 －3中，即y=2（x+0）2 －3中对称轴h是0，函数图像的顶点坐标是（0, －3），式子说明顶点从原点向下3格。
例4：y=2 x2中，对称轴h是0，函数图像的顶点坐标是（0,0）。2代表开口方向和开口大小。
（三）下面介绍的方法可以参考
二次函数的图像平移在中考题中经常出现，很容易做错。各方介绍，众说纷纭，在记忆的时候容易发生错误。以下是一种比较好记的平移方法。
二次函数图像平移时，图像的开口方向和形状都不发生变化，即a值不变。
可以解决有关平移的两类问题：
1、已知原二次函数和图像平移的方向，求平移后的新函数。解题策略为：先将二次函数解析式根据配方法化为顶点式，确定其顶点坐标，再根据图形平移方向，确定平移后新的顶点坐标。由新函数的顶点坐标和a的值求出解析式。
2、反过来，已知原二次函数和平移后的新函数，求图像平移的方向。解题策略：分别求出平移前后二次函数的顶点坐标，由顶点坐标的变化规律推出图像平移的方向。
这种平移方法要求应掌握的知识为：
①、熟练二次函数的顶点坐标公式。
.②、会根据配方法求出二次函数的顶点坐标。
③、已知二次函数的顶点坐标和a的值，会求出其函数解析式。如：已知二次函数的顶点坐标为(h、k)和a值，则函数解析式为:y=a(x－h) 2+k。④二次函数的图像左右平移时，所有点的横坐标变化，纵坐标不变；上下平移时，所有点的横坐标不变，纵坐标发生变化。
五、怎样将一般式变成顶点
(3)、怎样将顶点式变成一般式？
根据完全平方公式(a±b)2=a2±2ab＋b2，将式子展开就行了。
y=2(x－6)2-3
y=2[x2-2x×6+62]-3
y=2x2-24x＋69
六、二次函数的配方法
（一）、一元二次方程的配方法
通过配方，将ax2+bx+c=0变成等式左边是完全平方式，等式右边是非负常数形式，将完全平方式展开，就可以得出根。如果右边不是非负数，而是负数时，则该方程无解。当然，事先也可以判断这个方程是否有解（“解”又叫方程的“根”），办法是用一元二次方程的判别式。当b2-4ac>0时，有两个解；当b2-4ac=0时，有两个相同的解，即只有一个解；当b2-4ac<0因为√b2-4ac<0不行，所以没有解。
（二）与一元二次方程配方法的区别
两者配方方式是一样的。区别在于
将一元二次方程配方，要把ax2+bx+c=0中常数项c先移到等式的右边，然后将左边通过
配方后变化成完全平方公式。
而将二次函数配方，等式左边的函数y不能移动，所有的操作都只在等式右边进行，在照抄完二次项ax2和一次项+bx之后，在一次项后面同加同减一个一次项系数的一半，稍后把同
加的这个数（一次项系数的一半）合并入完全平方公式，把同减的这个数并入常数。
（三）、二次函数的配方法
顶点式解析式就是用配方法推理出来的，见下例，可以进一步熟练掌握配方法。
七、二次函数中a、b、c的作用
（一）、二次函数中的a
a≠0，a不能等于0
a决定开口的方向及开口的大小，最简二次函数y=ax2中a是这种形式。.
增减性就是它的性质，不必硬背，看图形，都先从左边看起
当a＞0时，在对称轴左侧是减函数，右侧是增函数，
当a＜0时，在对称轴左侧是增函数，右侧是减函数。
（二）、二次函数中的b
特别要注意抛物线y=ax2＋bx＋c中 “b”的作用
（三）、二次函数中的C
c的大小决定抛物线y=ax2＋bx＋c与y轴交点的位置.
当x=0时，y=c，∴抛物线y=ax2＋bx＋c与y轴有且只有一个交点（0，C）
① c=0，抛物线经过原点;
② c＞0,与y轴交于正半轴；c＜0
③c＜0,与y轴交于负半轴。
八、怎样从一个式子中看出谁是二次函数的对称轴和顶点坐标？
（一）、什么是二次函数的对称轴？
是一条在直角坐标图中平行于y轴（垂直于x轴）的直线，它无非有三种情况，与y重合（x=y）；在y左侧（如x=-1）；在y右侧（如x=1）。
（二）、什么叫顶点坐标？
二次函数的图象是只有一单条条抛物曲线曲线，又叫曲线（反比例函数有两条曲线，一次函数是一条直线），它只存在开口向上和开口向下两种情况。这条曲线一头是一个无暇大的口子，一头是一个最大或最小的那一点，这一点就叫顶点。当a>0时，开口向上，有数值最小顶点，又叫最小值。当a<0时，开口向下，有数值最大顶点，又叫最大值。我们知道，二次函数抛物曲线是根据一个个的点描绘而成的，每一个点都可以用一个坐标（x，y）来表示。那顶点所在的坐标就叫顶点坐标。
（三）、怎样确定“对称轴”、“顶点坐标”？——“阅读顶点式直接读出法”
1、怎样读顶点式？
从顶点式y=a(x－h) 2+k如y=3(x－1)2+2中直接读出，式中的h就是“对称轴”，
“x=1”表示（可以画个图感觉一下）。式中的h和k就是“顶点坐标”。这里要注意 “顶点坐标”中的h，y=3(x－1)2+2中 h是+1而不是 -1。因为顶点式的公式本身就是y=a(x－h) 2+k，所以x=1，而不是-1
例如:
y=a(x-h) 2 +k，对称轴是h，而不是 -h，图象的顶点坐标是（h,k）;
y=a(x＋h) 2 +k， 因为y=a(x＋h) 2 +k=y=a[x-（-h）] 2 +k，所以对称轴是-h，图象的顶点坐标是（-h,k）
y=2(x－6) 2 -3， 对称轴是6，图象的顶点坐标是（6, －3）
y=2(x＋6) 2 -3，对称轴是-6，图象的顶点坐标是（-6,-3）
2、为了阅读顶点式的方便，怎样补缺少的字母便于阅读？
要注意补缺。顶点式公式的核心是h、k两个字母，缺了先补上再阅读就会能一目了然。
y=2x2－3变化为y=2（x -0）2 -3，对称轴是0，图象的顶点坐标是（0,-3）
y=2x2变化为y=2（x -0）2 + 0，对称轴是0，图象的顶点坐标是（0,0）
3、把一般式换成顶点式要注意什么？
用公式法先把h和k计算出来后再代入顶点式y=a(x－h) 2+k就行了。特别要注意既然用公式法，h、k就一定要统一通过计算得出，千万不能图省事只把h用公式算，而k就直接从y=ax2＋bx＋c中抄过来了事。因为在有一次项b的情况下，c和k不是一个数。如，y=2x2-24x＋69有一次项b（-24），用公式把h、k计算出来后的式子是y=2(x－6)2-3，式子中的k是-3，而不是69，两个数不是一个数。像式子y=2 x2 －3中没有有一次项bx，要先变成：y=2 （x-0）2 -3，这里的c可以抄过来（将y=2 x2 －3代入公式k中验算后，k=-3）。
九、反映对称轴在哪一侧用口诀“左同右异”
（一）“左同右异”这句口诀是判断确定对称轴在何处的方法之一。
（二）、用顶点式y=a(x－h)2+k确定对称轴位置
当h为正数时，x=h，对称轴在右侧。如，y=3x2-6x＋5，变化为
y=a(x－1)2+2，x=+1
当h为负数时，x=h，对称轴在左侧。如，y=3x2+6x＋5变化为
y=a[x－（-1）]2+2，
y=a(x+1)2+2，x= -1
当h为0，x=h，对称轴与y重合，因而对称轴就是y轴。如，y=3x2＋5变化为y=a(x－0)2+5，x=0
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