n维矢量和差法证明柯西不等式 柯西不等式向量证明

当我用两种方法证明了柯西不等式的时候，自然要寻求第三种方法。

最终我发现，它是如此简单！只不过运用了平行四边形两邻边和大于任意一条对角线。

建立一个n维空间（n可大于三，这里只是理论分析）

其中有两个以原点为起点的矢量，分别为a、b

a的坐标为(a₁,a₂,…,a_n)，b的坐标为(b₁,b₂,…,b_n)

则a在第一维上的投影为a₁

则a在前两维上的投影为(a₁²+a₂²)^1/2

则a在前三维上的投影为(a₁²+a₂²+a₃²)^1/2

……

a在前n维上的投影为(a₁²+a₂²+…+a_n²)^1/2

也即其模|a|=(a₁²+a₂²+…+a_n²)^1/2

同理，|b|=(b₁²+b₂²+…+b_n²)^1/2

由矢量加法，a+b坐标为(a₁+b₁,a₂+b₂,…,a_n+b_n)

由矢量减法，a-b坐标为(a₁-b₁,a₂-b₂,…,a_n-b_n)

同上述求模方法，有

|a+b|=[(a₁+b₁)²+(a₂+b₂)²+…+(a_n+b_n)²]^1/2

|a-b|=[(a₁-b₁)²+(a₂-b₂)²+…+(a_n-b_n)²]^1/2

根据三角形两边之和大于第三边，（平行四边形两邻边和大于任一对角线），有

|a|+|b|≥|a+b|,|a|+|b|≥|a-b|

两式合并为一式，写成

|a|+|b|≥|a±b|

(a₁²+a₂²+…+a_n²)^1/2+(b₁²+b₂²+…+b_n²)^1/2≥[(a₁±b₁)²+(a₂±b₂)²+…+(a_n±b_n)²]^1/2

此式两侧都必为正数，所以两侧平方得

a₁²+a₂²+…+a_n²+b₁²+b₂²+…+b_n²+2(a₁²+a₂²+…+a_n²)^1/2(b₁²+b₂²+…+b_n²)^1/2≥(a₁±b₁)²+(a₂±b₂)²+…+(a_n±b_n)²

a₁²+a₂²+…+a_n²+b₁²+b₂²+…+b_n²+2(a₁²+a₂²+…+a_n²)^1/2(b₁²+b₂²+…+b_n²)^1/2≥a₁²+b₁²+a₂²+b₂²+…+a_n²+b_n²±2a₁b₁±2a₂b₂±…±2a_nb_n

2[(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²)]^1/2≥±2(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)

因±符号中，正负均可成立。现取正值，有

[(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²)]^1/2≥|a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n|

(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²)≥(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²

由此前过程，若须等号成立，只有a、b共线

则a₁/b₁=a₂/b₂=…=a_n/b_n

最终得到柯西不等式：

(a₁²+a₂²+…+a_n²)(b₁²+b₂²+…+b_n²)≥(a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n)²

当且仅当a₁/b₁=a₂/b₂=…=a_n/b_n时等号成立

或者简写作：

Σa_i²*Σb_i²≥(Σa_ib_i)²,当且仅当a_i∝b_i时等号成立

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