爱华网
无理数从发觉根号2始。因无理数的介入，原本清晰的数概念，变得有几分莫名。无理数的诞生，拓展了数的概念，扩大了数的领域，反而模糊了对数的领悟。 有得有失，义广含多。不失不得，意少物明。
无理数可这样解读“不能写成两整数之比的小数”，也可这般表达“无限不循环的小数”，还可如此理解“不知道尾数的小数”，等等。第一解读可算无理数发觉的释惑，第二表达可算无理数概念的定义，第三理解可算无理数特点的遐想。 表述无理数的言语一定还有很多，比如:非有理数的实数；无限连分数表达的小数，不能用分数表达的小数等。无论怎样解读、表达和理解，无理数无疑是一个小数，一个数字排列无直观规律的小数，一个数字排列无直观规律且没有尾数的小数。前面“不知道尾数的小数”的表述很有趣，令人联想。这里所谓尾数，专指一个数最后一位数字。任意一个无理数的尾数无非1到9九个数字，只是不知是哪个，也只是因无理数定义使我们不去思考。1到9九个数任意一个除2，商的尾数不外乎1到5五个数字；再除2，尾数只有1、2、5三种；又除2，尾数剩下1和5两种；最后除2，尾数只是5，且继续除2商的尾数恒定为5。1到9九个自然数，分别除以16，其商在小数点后最后一位数皆是5。卦数歌:阴阳本二华，九宫行八卦，二八一十六，五数正仲夏。数的尾数问题是一个有趣的问题。无理数没有尾数，与无理数不知道尾数是多少，概念不同，意义相近。没有尾数的数，和永远不知道尾数的数，都不一定就是无理数，但无理数肯定不知道尾数，也没有尾数。 数一定要有尾数吗？人思维习惯有头有尾。从1、2、3……去数数，您永远也不知道尾数是几在何。数简单无比，也复杂无限。往往简单的东西，都深藏有等待的秘密。幼稚是科学的开端，科学是幼稚的终结，周而复始，循序渐进。自然数数不完，与自然数永远不知道最后一数，殊途同归，异曲同工。无理数没有尾数，无限循环小数同样也没有尾数，单循环数除外。数是人奇妙的发明，个中奇妙更是无比。一个数真的可以没有尾数吗？没有尾数的数该怎样去理解？数的尾数到底有什么内涵？有尾数表示数有一个可知的终结，数表现为静态；没有尾数代表数无可知的终结，数呈现为动态。相对而言，宇宙中静态是物，动态是事，能够说数所反映的就是事物吗？如此又回到了“万物皆数”。能够说数存在静态和动态之分吗？比如说数还可分两大类，一类是静数（包含0），一类是动数。将数分为静数和动数也许是有意义的，宇宙由静动构成，静和动是宇宙常态。 几何开始现于人脑海以后，对正方形对角线的思考，让我们半懂半知无理数。我们借助工具“直尺”能很容易画出正方形对角线，用“圆规”可以很容易鉴别等长的对角线，并在几何平面任意移动对角线。但是，如果正方形对角线一个端点可以公度，另一个端点一定无法公度。此处所谓公度是指读出端点在某种系统所处位置的值。工具不是全能的，就像人天生存在美好缺陷一样，工具都是有缺陷的。没有工具可以同时公度出正方形对角线两个端点的位置值，或者说同时公度出正方形边与对角线的长度。我们可以计算正方形对角线的长度，其长度值却无法丈量解读出来。理论与现实、或者说理论与实践，永远都会有一定差距，这样的差距不以人的意志转移。理论都是相似假设，反映的只是一种极限趋势。古老的《易经》研究趋势，不过我们没有掌握如何“极限趋势”的正确方法。 什么是静？什么是动？什么是相同？什么是不相同？几何这样定义角，角是由两条有公共端点射线组成的几何对象。这两条射线是角的边，公共端点是角的顶点。解析几何用两条垂直射线构成一个带有原点的体系，笛卡尔坐标系统。倘若我们以一个正方形中一个角的顶点为坐标原点，用其垂直边构成坐标轴，那么这个正方形与构建的坐标就是一个完整的认知体系。从坐标原点画一条平行该正方形对角线的射线，这条射线与任意坐标轴都可构成以原点为顶点的45度角，两条坐标轴形成的角是90度角，不知道这两个角的顶点是不是同一个点。45度角的顶点也许是个动态点，90度角的顶点也是动态吗？您如何确定它们是同一个点？用您的眼睛、直觉还是思维？几何点无大小，几何点的位置有“红移”吗？几何点位置的解读一定存在“红移”。无理数是无限不循环的小数，您永远不知道这个小数最后一位数是多少。 “无限”可以“公度”吗？可以画出一个“无限”吗？画出的一个“无限”真实吗？世界很奇妙，认知世界更奇妙。《道德经》四十章：“反者道之动；弱者道之用。天下万物生于有，有生于无”。
数的尾数问题，循序渐进讲好。无理数的尾数问题，也许是一个好的数学问题，它不仅培育数学思维，也可以培养哲学思智，还能启发您去觅得《易经》书本外的易经。 无理数有尾数吗？无理数的尾数究竟是几在何？
（二〇一五年九月二十二日星期二日记）
