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Β函数，又称为贝塔函数或第一类欧拉积分，是一个特殊函数，由下式定义：
其中 。
目录
[隐藏]
1 性质 2 伽玛函数与贝塔函数之间的关系 3 导数 4 估计 5 不完全贝塔函数 5.1 性质
6 参见 7 参考文献 8 外部链接
[编辑] 性质
Β函数是对称的，也就是说：
它有许多其它的形式，包括：
其中 是伽玛函数。
就像伽玛函数描述了阶乘一样，我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数：
[编辑] 伽玛函数与贝塔函数之间的关系
为了推出两种函数之间的关系，我们把两个阶乘的乘积写为：
现在，设 , ，因此：
利用变量代换a = rcosθ和b = rsinθ，可得：
因此，有：
[编辑] 导数
贝塔函数的导数是：
其中ψ(x)是双伽玛函数。
[编辑] 估计
斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式：
[编辑] 不完全贝塔函数
不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广，把贝塔函数中的定积分用不定积分来代替，就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。
不完全贝塔函数定义为：
当x = 1，上式即化为贝塔函数。
正则不完全贝塔函数（或简称正则贝塔函数）由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义：
当a和b是整数时，计算以上的积分（可以用分部积分法），可得：
[编辑] 性质
[编辑] 参见
贝塔分布 二项分布 伽玛函数
[编辑] 参考文献
M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972. （See §6.2, 6.6, and 26.5） W. H. Press, B. P. Flannery, S. A. Teukolsky, W. T. Vetterling. Numerical Recipes in C. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 1992. Second edition. (See section 6.4) PlanetMath上用拉普拉斯变换来计算贝塔函数的资料。
[编辑] 外部链接
贝塔函数计算器 不完全贝塔函数计算器 正则不完全贝塔函数计算器
取自“http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%CE%92%E5%87%BD%E6%95%B0”
2个分类: 特殊超几何函数 | 伽玛及相关函数
