牛吃草问题的解答 牛吃草的问题名师解答

牛吃草问题是小学奥数的一类难题,记得在某本书上看到过:“牛吃草问题就是追及问题,牛吃草问题就是工程问题。”对于前半句很好理解,给孩子讲的时候,也是按追及问题的思路来讲的。而对于后半句,直到上周才算明白。

例1 小军家的一片牧场上长满了草,每天草都在匀速生长,这片牧场可供10头牛吃20天,可供12头牛吃15天。如果小军家养了24头牛,可以吃几天?

草速:(10×20-12×15)÷(20-15)=4

老草(路程差): 根据:路程差=速度差×追及时间

(10-4)×20=120 或 (12-4)×15=120

追及时间=路程差÷速度差: 120÷(24-4)=6(天)

例2 一个牧场可供58头牛吃7天,或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等,每头牛的吃草量也相等,那么,可供多少头牛吃6天?

草速:(50×9-58×7)÷(9-7)=22

老草(路程差): (50-22)×9=252 或 (58-22)×7=252

求几头牛就是求牛速,牛速=路程差÷追及时间+草速 252÷6+22=64(头)

现在回头看看仁华学校课本那道题吧!

例3 一个水池,底部安有一个常开的排水管,上部安有若干个同样粗细的进水管,当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池;当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池;现在需要在2小时内将水池注满,那么至少要打开多少个进水管?

分析 本题没给出排水管的排水速度,因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系,才能确定至少要打开多少个进水管.

解:本题是具有实际意义的工程问题,因没给出注水速度和排水速度,故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a,排水管1小时排水量为b,根据水池的容量不变,我们得方程(4a-b)×5=(2a-b)×15,化简,得:

4a-b=6a-3b,即a=b.

这就是说,每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量.

再设2小时注满水池需要打开x个进水管,根据水池的容量列方程,得

(xa-a)×2=(2a-a)×15,

化简,得 2ax-2a=15a,

即 2xa=17a.(a≠0)

所以x=8.5

因此至少要打开9个进水管,才能在2小时内将水池注满.

注意:x=8.5,这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求;开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.

以上是书中给出的解法,考虑到此解法不适合给小学孩子讲,所以把此题当作牛吃草问题来讲的.

把进水管看成"牛",排水管看成"草",满池水就是“老草”

排水管速:(2×15-4×5)÷(15-5)=1

满池水(路程差): (2-1)×15=15 或 (4-1)×5=15

几个进水管:15÷2+1=8.5(个)

我和学生都有个好习惯,解完一道题后要反思,这道题既然是工程问题,那么,可不可以用工程问题的解法来做呢?之后在课堂上当时做了尝试,结果答案是肯定的!

当打开4个进水管时,需要5小时才能注满水池,那么4个进水管和1个排水管的效率就是1/5。

当打开2个进水管时,需要15小时才能注满水池,那么2个进水管和1个排水管的效率就是1/15。

两者之间差了(4-2=)2个进水管的效率,于是1个进水管的效率是:

(1/5-1/15)÷(4-2)=1/15

1个排水管的效率是:

4×1/15-1/5=1/15 或者 2×1/15-1/15=1/15

现在需要在2小时内将水池注满,那么至少要打开多少个进水管?

(1/2+1/15)÷1/15=8.5(个)

让我们用这个方法验证一下例2吧

例2 一个牧场可供58头牛吃7天,或者可供50头牛吃9天。假设草的生长量每天相等,每头牛的吃草量也相等,那么,可供多少头牛吃6天?

牛速:(1/7-1/9)÷(58-50)=1/252

草速: 58×1/252-1/7=11/126 或者 50×1/252-1/9=11/126

多少头牛:(1/6+11/126)÷1/252=64(头)

怎么样?明白了吗?

(1)草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`

(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);

(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。

牛吃草问题核心公式

【熟记】 牛吃草问题的核心公式:草场草量=(牛数-每天长草量)×天数,通常设每天长草量为x

基础题型演练

【例1】 有一块牧场,可供10头牛吃20天;15头牛吃10天;则它可供25头牛吃?天

【解答】 根据核心公式:(10-x)×20=(15-x)×10=(25-x)×?

(10-x)×20=(15-x)×10→x=5

将x=5代入,?=5

【例2】 有一块牧场,可供10头牛吃20天;15头牛吃10天;则它可供?头牛吃4天

【解答】 根据核心公式:(10-x)×20=(15-x)×10=(?-x)×4

(10-x)×20=(15-x)×10→x=5

将x=5代入,?=30

较为复杂的情形

【例3】22头牛吃33公亩牧场的草,54天可以吃尽;

17头牛吃28公亩牧场的草,84天可以吃尽;

?头牛吃40公亩牧场的草,24天可以吃尽?

A.50 B.46 C.38 D.35

【解答】 设每公亩牧场每天新长出来的草可供x头牛吃1天,每公亩牧草量为y

根据核心公式:33y=(22-33x)×54→y=( 2- 3x)×18=36-54x

28y=(17-28x)×84→y=(17-28x)× 3=51-84x

40y=(?-40x)×24

36-54x=51-84x→x=1/2→y=9

40×9=(?-20)×24→?=35

其它情形

漏水问题,排队等候问题...等均可看作这种问题。

剩余定理问题:

例1:一个数被3除余1,被4除余2,被5除余4,这个数最小是几?

题中3、4、5三个数两两互质。

则〔4,5〕=20;〔3,5〕=15;〔3,4〕=12;〔3,4,5〕=60。

为了使20被3除余1,用20×2=40;

使15被4除余1,用15×3=45;

使12被5除余1,用12×3=36。

然后,40×1+45×2+36×4=274,

因为,274>60,所以,274-60×4=34,就是所求的数。

例2:一个数被3除余2,被7除余4,被8除余5,这个数最小是几?

题中3、7、8三个数两两互质。

则〔7,8〕=56;〔3,8〕=24;〔3,7〕=21;〔3,7,8〕=168。

为了使56被3除余1,用56×2=112;

使24被7除余1,用24×5=120。

使21被8除余1,用21×5=105;

然后,112×2+120×4+105×5=1229,

因为,1229>168,所以,1229-168×7=53,就是所求的数。

例3:一个数除以5余4,除以8余3,除以11余2,求满足条件的最小的自然数。

题中5、8、11三个数两两互质。

则〔8,11〕=88;〔5,11〕=55;〔5,8〕=40;〔5,8,11〕=440。

为了使88被5除余1,用88×2=176;

使55被8除余1,用55×7=385;

使40被11除余1,用40×8=320。

然后,176×4+385×3+320×2=2499,

因为,2499>440,所以,2499-440×5=299,就是所求的数。

例4:有一个年级的同学,每9人一排多5人,每7人一排多1人,每5人一排多2人,

这个年级至少有多少人?

题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。

为了使35被9除余1,用35×8=280;

使45被7除余1,用45×5=225;

使63被5除余1,用63×2=126。

然后,280×5+225×1+126×2=1877,

因为,1877>315,所以,1877-315×5=302,就是所求的数。

例5:有一个年级的同学,每9人一排多6人,每7人一排多2人,每5人一排多3人,问这个年级至少有多少人?

题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7,5〕=35;〔9,5〕=45;〔9,7〕=63;〔9,7,5〕=315。

为了使35被9除余1,用35×8=280;

使45被7除余1,用45×5=225;

使63被5除余1,用63×2=126。

然后,280×6+225×2+126×3=2508,

因为,2508>315,所以,2508-315×7=303,就是所求的数。

(例5与例4的除数相同,那么各个余数要乘的“数”也分别相同,所不同的就是最后两步。)
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练习1、 一片青草地,每天都匀速长出青草,这片青草可供27头牛吃6周,或供23头牛吃9周,那么这片草地可供21头牛吃几周?

2、 一片青草地,草每天均匀生长,如果可供24头牛吃6天,20头牛吃10天,那么可供19头牛吃多少天?

3、 24头牛6天可以将一片牧草吃完,21头牛 8天也可以将这片牧草吃完,如果每天草的增长量相等,要使这片牧草永远吃不完,至多放几头牛吃这片牧草?

4、 因天气渐冷,牧场上的草以固定的速度减少,已知牧场上的草可供33头牛吃5天,或可供24头牛吃6天,照此计算,这个牧场可供多少头牛吃10天?

5、 一块牧场的草够12头牛吃12天,或15头牛吃8天,如果在全部时间内青草能均匀生长,那么,这块牧场6天能养活多少头牛?

6、 一块草地,每天生长的速度相同,现在在这片牧场可供16头牛吃20天,或者供80只羊吃12天,如果一头牛一天吃的草量等于4只羊一天的吃草量,那么10头牛与60只羊一起吃可以吃多少天?

7、 有一池泉,泉底不断涌出泉水,且每小时涌出的泉水一样多,如果用8部抽水机10小时能把全池泉水抽干,如果用12部抽水机6小时能把全池泉水抽干,那么14部抽水机多少小时能把全池泉水抽干?

8、 假设地球上新生的资源的增长速度是一定的,照此计算,地球上的资源可供110亿人生活90年或可供90亿人生活210年,为使人类能够不断繁衍,那么地球最多能养活多少亿人?

9、 快中慢三车同时从A地出发,追赶一辆自行车,它们的速度分别是每小时24千米,每小时20千米和每小时19千米,快车追上自行车用了6小时,中车追上自行车用了10小时,慢车追上自行车用多少小时?

10商场的自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着,兄妹俩从扶梯上楼,兄每分钟走20级,妹每分钟走15级,结果兄5分钟到达楼上,妹6分钟到达楼上,问该自动扶梯共有多少级(可见)?

11某车站在检票前若干分钟就开始排队,设每分钟来的旅客人数一样多,从开始检票到等候检票的队伍消失,若同时开4个检票口需30分钟;同时开5个检票口需要20分钟,买来同时开7个检票口需要多少分钟?为了使15分钟内检票队伍消失,至少需要开多少个检票口?

  

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牛吃草问题是小学奥数的一类难题,记得在某本书上看到过:“牛吃草问题就是追及问题,牛吃草问题就是工程问题。”对于前半句很好理解,给孩子讲的时候,也是按追及问题的思路来讲的。而对于后半句,直到上周才算明白。例1 小军家的一片牧场上

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