爱华网——对“三角形分类”教材的分析与思考
“三角形的分类”是小学几何知识学习，尤其是三角形知识学习中的一个重要内容。切实掌握三角形的分类，有利于学生更全面地理解三角形的特征，并为后续知识的学习打下扎实的基础。为此，不管是课改以前还是课改以后各种版本的教材，在“三角形的分类”这个内容的编排上，都非常重视，也编制出了各具特色的教学内容。
结合教材的演变，将几套教材进行对比分析，我们发现有这样两个特点：
1.要学生掌握三角形按角分类，一直都是重要的教学要求，任何一套教材都大力凸显这个知识点。为了让学生扎实学好这个知识，有一些教材甚至将此单独编排一个课时，让学生专门研究三角形按角分类的知识。同时，教材都无一例外地都采用集合图，以形象地揭示三角形按角分得到的三种三角形之间的关系。
2.三角形按边分类，一直都不强调要学生掌握分成几类，最多要学生知道三角形、等腰三角形、等边三角形之间的关系。现在已呈现出进一步降低要求的趋势，如人教版实验教材对此已不提及，苏教版实验教材甚至已不设置三角形按边分类的内容，而将等腰三角形、等边三角形的认识独立设置为一个知识点。同时，很多教材也都已经不呈现集合图来揭示三角形、等腰三角形和等边三角形之间的关系。
同样是三角形的分类，但按角分、按边分在内容设置和教学要求上，却存在这样的差异，它有什么内在的原因吗？教科书上有一句话，“按边分类要难一些”，我们又该怎样去理解这句话呢？笔者根据自己的实践和思考，想从以下两个方面来谈谈这个问题。
1.按角分、按边分，概念构造的过程是不同的
三角形按角分类构造概念的过程，是一个概念构造中“强抽象”的典型例子。什么是“强抽象”呢？它是指在原型中引入新的本质特征来强化原来结构的一种思维过程，通过这种过程可得到一个新的概念，并使得这个概念成为原来概念的一个特例。如在“角”概念上加上“90度”的特征，就构造出了“直角”这一概念，而“直角”是“角”的一个特例。这种造概念的方式，思维形式是顺向的，且过程简单明了，比较适合小学生的思维特点，学生很容易理解接受。
因此，我们让学生对若干个三角形按角进行分类，学生就必定会自然地引入新的特征来强化原型，如根据三角形是否有直角，就会将三角形分成两类，并自主建构出直角三角形和非直角三角形（斜三角形）两个概念。若要学生将斜三角形继续分类，学生又会自然地再次在斜三角形中注入新的特征，就会继续顺利地抽象概念，只至得出按角分可得到的三种三角形。在这样的概念构造过程中，学生思维清晰，理解顺畅，概念体系形成牢固。
反观三角形按边分时的概念构造过程，却有所不同。学生在将三角形按边分类时，也是“强抽象”，一般都是先这样分成三类：三条边都不相等、只有两条边相等、三条边都相等。我们都知道，这实际也是一种很好的分法，假如我们能修改等腰三角形的概念，即把“只有两条边相等”的三角形命名为等腰三角形，那么，这样的分类及概念构造过程，学生理解起来也是非常简单的。然而，现实的情况是我们不能修改定义，因此，我们只能引导学生将分出来的三种情况中的后两者归并在一起，得出共同之处“有两条边相等”，再把它命名为等腰三角形。即等腰三角形这个概念的构造，是先有两个下位概念，再通过寻找到它们的共同特征——有两条边相等，来归并得到其上位概念的。
这种与三角形按角分得出概念过程正好相反的思维方式，实际上就隐藏了“概括”的思想方法。所谓“概括”，就是指把同类事物的共同属性联结起来，并以此来加深对它们所属的上位概念特性的认识。这种思维方式需要一定的对比、提炼能力，对于学生而言，当然会感到一些困难。
而最为关键的是，同样是分类，按角分得出概念的过程是单纯的抽象，而按边分形成概念体系，则是先抽象后概括，两者并存，思维过程多了，要求增加了，学习难度自然也加大了。
可见，三角形按角分、按边分，因为两种分法中构造概念的过程有难易之分，思维要求有高低之别。所以，教材编排时出现重按角分、轻按边分的现象，那是符合知识内涵特征的处理方法。
2.按角分、按边分，概念系统的结构是不同的
对数学概念进行分类，主要是为了让人理清各种概念之间的关系并形成概念系统，这是构建数学认知结构的重要方法。分类有一些原则：不重复、无遗漏、标准统一、逐层划分。以这个原则去实施分类，每次构造出来的概念系统的结构，都应该是将一个属概念分成几个互不相容的种概念，也就是概念之间是并列式的关系。这样的结构，逻辑简单，理解容易。而三角形按角分，恰巧就是这样的典型素材。
从图1和图2可见，三角形按角分，不管是分成两种还是分成三种，都完全符合概念分类的原则，都完整地展现了分类的结果。这样的集合图，更是标准分类方法的直观体现，能够有效地支撑学生进一步明确概念间的逻辑关系。因此，学生学习三角形按角分类，理解分类后概念系统的结构，是件比较容易的事情。
三角形按边分，概念系统的结构却比较复杂。因为它的整个概念系统舍弃了一些不常用的概念，而只去关注其中的特例，这就造成了整个概念系统的不完整。如三角形按边应该可以分成等腰三角形和不等边三角形，但我们却撇开不等边三角形不谈，而只去研究其中的特例——等腰三角形；等腰三角形从边的角度考虑，可以分成只有两条边相等的和三条边都相等的三角形，但我们还是舍弃了只有两条边相等的三角形，而只去研究其中的特例——等边三角形。这样一来，整个需要研究的概念系统就呈现出从属式的关系（如图3）。
在这个从属式的逻辑关系中，种概念是不完整的，从严格意义上来讲，它不能算是分类。因此，如果要学生从分类角度去理解这种概念系统的结构，当然是有难度的。其次，这个概念系统，尤其是这个集合图，还涉及到了两级分类，即里面有两个属种关系。学生对一个属种关系的理解都感到头疼（如理解正方形是特殊的长方形），现在面对两个属种关系的，困难更是不言而喻的。因此，教材不再出现集合图，淡化（甚至是不提及）两者关系，也是一种符合学生认知特点的编排策略。
当然，我们也要认识到，因为舍弃的概念，如“不等边三角形”，于小学生而言，无大的研究价值；要研究只有两条边相等的三角形，还得给它定义一个新的名称……种种难处，也是教材淡化三角形按边分类的重要原因。
根据上述分析，我们就不难理解，为何教材清晰地展示三角形按角分类的结果，却一直不强调按边分可以分成几类；为何有教材将等腰三角形、等边三角形的知识脱离“分类”，单独来进行教学；我们想必也能深刻地认识教参上所说“按边分要难一些”这句话的真实含义。
明确了两个内容存在的差异和产生原因，我们就应该直面差异，深层考虑，合理教学。具体可以注意以下两点：
1.设置合理的教学目标
我们要根据教学内容的不同特点，合理设置不同的教学目标。比如说，三角形按角分类，构造概念的过程清晰，概念间的关系简单，学生理解容易。因此，对于三角形按角分类，我们要全面挖掘这块内容的内涵，要把它做强放大。教学目标制定时，一方面应要求让学生牢固掌握三角形角的特征，另一方面还应重点让学生去感悟抽象或分类的数学思想。教学的具体实施，更要时刻围绕着这样的目标去展开。比如说，当学生不能正确分类时，我们可以引导学生去观察角的特征，使分类得以进行；当学生出现将三角形按角分成两类或三类时，我们则可以引导学生去对比其中的联系，使学生认识钝角三角形、锐角三角形就是在斜三角形基础上的细化分类；在每次分类后，让学生去对照分类的要求来检验分类是否正确。等等措施，既帮助学生牢固掌握了三角形角的特征，又使学生初步感悟了强抽象的造概念方式。
而对于三角形按边分，由于概念得出过程较迂回，概念系统结构较复杂，我们就应该认识到，这块内容，应降低要求，要淡化分类意识及其它数学思想，要将学生学习的重点转移至研究等腰三角形、等边三角形边的特征，以掌握这两种三角形的特征为主要的教学目标。在教学实践中，我们可以不深究按边分类的结果到底是怎样的，可以不过分注重等腰等边关系的理解。我们只要让学生通过按边分的操作和思考，找寻到三角形边的特征，清晰地建构起等腰三角形、等边三角形各自的表象即可。
2.采用合理的教学方法
在教学中，我们也应当采取针对性的教学方法，合理开展两个内容的教学。如教学按角分的内容时，我们应该发挥学生的主动性，让学生充分利用学具，切实展开操作，通过独立思考、自主探索，真正经历三角形按角分类的过程，掌握三角形角的特征，体验“分类”和“抽象”的思想方法。与之相对应的是，教师在这个过程中起的作用则是引导和启发，即教师所要做的，主要是创设好恰当的情境，调控好探索的进程，组织好学生的讨论，最后在学生形成正确认知时适当引领一下即可。
而对于按边分的内容，我们要考虑到概念系统的不完整，考虑到思维形式的相对复杂性，教学方法就应当与上不同了。我们可以采用教师讲解、传授为主的方法，通过直接揭示概念，通过讲解、演示，通过学生的模仿、实践，帮助学生快捷地建立清晰表象，形成正确的认知。这样的教法可以使学生避免复杂的思考过程，从而让他们集中精力去研究等腰三角形、等边三角形边的特征，去记忆其中的一些专用名称，去完成按角分、按边分之间的沟通。同时，这样的方法，也可以有效解决按角分、按边分两个内容合在一起教学所产生的教学时间紧张的问题。
