双曲线定义、标准方程、几何性质 双曲线的简单几何性质
【本讲教育信息】
一. 教学内容:
双曲线定义、标准方程、几何性质
[知识点]
(一)双曲线的定义
1. (1)图示:取一拉链,在拉开两边上各选一点,分别固定在F1、F2上,|F1F2|=2c,即|PF1|-|PF2|=2a,得到的图形,我们称为双曲线一支(加绝对值两支)
3. 定义:平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数c小于|F1F2|的点的轨迹叫双曲线。
(1)焦点:F1、F2,焦距:|F1F2|
(2)定义重点:
①绝对值
②小于|F1F2|
若去掉①则为一支;去掉②,2a=2c射线,2a>2c无曲线,2a=0是F1F2的中垂线。
(二)双曲线的标准方程
(1)推导:①建系;②写出集合;③坐标化;④化简
图象特征:
[注意]
1. 位于标准位置,才能有标准方程;
3. 判断双曲线焦点的位置由函数的正负决定(不比大小),若x2的函数为正,则焦点在x轴上,反之则在y轴上。
4. 记住a、b、c的关系:
一般地:第二定义:平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
线叫做双曲线的准线,这个常数e叫做离心率。
理解:
①第二定义的隐含条件:定点在直线外,否则轨迹是除去交点的两条相交直线。
③双曲线的离心率的定义是:双曲线上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。(几何意义)
2. 焦半径及焦半径公式
定义:双曲线上一点到焦点的距离叫做双曲线上这点的焦半径。
(4)等轴双曲线:
曲线。
渐近线:(定义:若曲线上的点到某一直线的距离为d,当点趋向于无穷远时,d能趋近于0,则这条直线称为该曲线的渐近线)
【典型例题】
例1. 一炮弹在某处爆炸,在F1(-5000,0)处听到爆炸声的时间比在F2(5000,0)
么样的曲线上,并求爆炸点所在的曲线方程。
解:
6000(米),因此爆炸点在以F1、F2为焦点的双曲线上。
因为爆炸点离F1处比F2处更远,所以爆炸点应在靠近F2处的一支上。
设爆炸点P的坐标为(x,y),则
小结:
远6000米,这是解应用题的第一关——审题关;根据审题结合数学知识知爆炸点所在的曲线是双曲线,这是解应用题的第二关——文化关(用数学文化反映实际问题);借助双曲线的标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解决应用题的第三关——数学关(用数学知识解决第二关提出的问题)。
例2. 求一条渐近线方程是3x+4y=0,一个焦点是(4,0)的双曲线标准方程,并求双曲线的离心率。
解:
小结:
例3. 等轴双曲线的两个顶点分别为A1、A2,垂直于双曲线实轴的直线与双曲线交于M、N两点,求证:
(1)∠MA1N+∠MA2N=180°;
(2)MA1⊥A2N,MA2⊥A1N。
证明:
如图所示,易求得:
又∠NA1x,∠NA2x均为锐角,
∴MA1⊥A2N。同理可证MA2⊥A1N。
小结:利用对称性把要证等式转化为证明∠NA2x+∠NA1x=90°为本题证明的突破口,体现转化意识。
例4.
证明:
程分别是
∵双曲线上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个双曲线的离心率,
小结:|PF1|、|PF2|都是双曲线上的点到其焦点的距离,通常称作焦半径。
例5.
AB的中点,求直线AB的方程。
解法一:设A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
①-②,得
∵P是线段AB的中点,
∴直线AB的斜率为2。
解法二:
∵A、B为双曲线上的点,
小结:此题也可设直线的斜率为k,然后待定k的值。
例6. 设点P到点M(-1,0)、N(1,0)的距离之差为2m,到x轴、y轴的距离之比为2,求m的取值范围
解:设点P的坐标为(x,y),由题意得
∴点P、M、N三点不共线
∴点P在以M、N为焦点、实轴长为2|m|的双曲线上。
小结:
例7.
曲线离心率e的取值范围。
解:
∵双曲线经过点C、D,且以A、B为焦点,由双曲线的对称性知C、D关于y轴对称。
高。
小结:
例8.
标为4,求双曲线的方程。
解法1
解法2
解法3
例9. 焦点在x轴上的椭圆C的一顶点为B(0,-1),右焦点到直线m:
(1)求C的方程;
(2)是否存在斜率k≠0的直线l与C交于两点M、N,使|BM|=|BN|?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由。
解:
小结:
义相同。
【模拟试题】
1. 过双曲线 的一个焦点作x轴的垂线,求垂线与双曲线的交点到两焦点的距离。
2. 已知双曲线的离心率为2,求它的两条渐近线的夹角。
3. 在面积为1的△PMN中, ,建立适当坐标系,求以M、N为焦点且过点P的双曲线方程。
4. 已知椭圆 和双曲线 有相同的焦点 ,P是两条曲线的一个交点,求 的值。
5. 已知椭圆 及点B(0,-2),过左焦点F1与点B的直线交椭圆于C、D两点,椭圆的右焦点为F2,求△CDF2的面积。
6. P为椭圆 上任意一点,F1为它的一个焦点,求证以焦半径F1P为直径的圆与以长轴为直径的圆相切。
7. 已知两定点A(-1,0),B(1,0)及两动点M(0,y1),N(0,y2),其中 ,设直线AM与BN的交点为P。
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)若直线 与曲线C位于y轴左边的部分交于相异两点E、F,求k的取值范围。
8. 直线 只有一个公共点,求直线l的方程。
【试题答案】
1. 解:∵双曲线方程为 ,
∴ =13,于是焦点坐标为
设过点F1垂直于x轴的直线l交双曲线于
,
∴
故垂线与双曲线的交点到两焦点的距离为 。
2. 解:设实轴与渐近线的夹角为 ,则
∴
∴两条渐近线的夹角为
[点评]
(1)离心率e与 。
(2)要注意两直线夹角的范围,否则将有可能误答为 。
3. 解:以MN所在直线为x轴,MN的中垂线为y轴建立直角坐标系,设 ,(如图所示)
则
解得
设双曲线方程为 ,
将点
∴所求双曲线方程为
点评:选择坐标系应使双曲线方程为标准形式,然后采用待定系数法求出方程。
4. 解:∵P在椭圆上, ,
又∵点P在双曲线上, ,
①、②两式分别平方得
两式相减得 ,
∴
5. 解:∵ ,
由
∵ 与椭圆有两个公共点,设为:
∴
又点F2到直线BF1的距离
说明:本题也可用 来解。
6. 略解1 设 为椭圆上任意一点,则
又两圆半径分别为 ,
,故此两圆内切。
略解2 如图,
∴此两圆内切
7. 解:(1)由题意得AM的方程为 ,BN的方程为: 。
两式相乘,得
(2)由
8. 解:由
(1)
∴此时直线l:x=3与双曲线只有一个公共点(3,0);
(2)当b≠0时,直线l方程为 。
①当
②当 恒成立,
∴此时直线l与双曲线必相交于两点。
综上所述,满足条件的直线l共有三条:
小结:含参数的直线方程,若化简为 ,则可知l必过定点(3,0),因(3,0)正好为双曲线实轴顶点。所以过此点的切线x=3及过此点与渐近线平行的直线 均与双曲线只有一个公共点。由此可见,重视几何图形特征分析会简化计算。
更多阅读
反馈回路模型——人类发展、学习、创造和天才的理论
反馈回路模型——人类发展、学习、创造和天才的理论原文:WinWenger,Image-Stream发明者,加速学习、大脑开发等领域的先驱翻译:阿扁翻译前记:这是一篇不同寻常的文章,它用一个反馈回路模型述说了人类发展、学习、创造和天才的基本原理,而
一维数组的定义、初始化和引用 一维数组初始化为0
一维数组的定义、初始化和引用一维数组的定义、初始化和引用1.一维数组的定义方式为:类型说明符 数组名[常量表达式](1)数组名的命名方法与变量名相同,遵循标识符命名规则;(2)数组是用方括号括起来的常量表达式,不能用圆括号;(3)常量表达式表
什么是快速消费品及定义、特点、行业标准分类 诗的定义 特点 分类
一、什么是快速消费品FMCG是Fast Moving ConsumerGoods的首字母缩写,代表快速消费品。快速消费品指消费者消耗较快、不断重复购买的产品。与之相对应的是“耐用消费品”(Durable ConsumerGoods),通常使用周期较长,一次性投资较大,包括(但
离散系数的定义、用途和意义 离散系数有哪些用途
离散系数的定义、用途和意义一、离散系数的定义离散系数又称变异系数,是衡量资料中各观测值变异程度的一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时,如果度量单位与平均数相同,可以直接利用标准差来比较。如果单位和(或)平均数不
溶出度、释放度、崩解时限的差异和注意点 怎样使崩解快而溶出慢
以下是我个人对溶出度 、释放度、崩解时限的理解,进行了很精炼的语言描述,不知道各位能看懂么。溶出度关键指标:1主机必须校正(各部件显示器是否正常),中心校正,标准片校正。浆或者篮的位置校正(触底、和摆幅)。篮法和浆法的转速不一样。2