戆算，推导得计算勾股弦的三组新公式 勾股定理推导过程

戆算，推导得计算勾股弦的三组新公式

内容提要：何谓戆算。怎样戆算。为什么要戆算。戆算的成果表。对成果表的分析，发现“定差”的规律（弦减股称为定差K）。由此悟得计算勾股弦的新公式。新公式的推导及算例，告别戆算。质数与勾股弦。

一 戆 算 纪述

※1所谓戆算，就是当采用某一公式，得不到所预定的结果时，就用‘凑’的方法，凑算到所要的结果。例如在整数直角三角形中，勾A、股B、弦C的关系，由商高定理即毕达哥拉斯定理A²+B²=C²确定。应明确规定A＜B，不要倒置。在己知A的情况下要求得B和C，且必须是整数，就得凑出合适的B、C，就要戆算了。

※2 怎样戆算呢？例如要计算一个 (21、B、C)的勾股弦，该怎样算？即己知A=21，求B、C。怎样解算21²+B²=C²这个整数不定方程。

解21²+B²=C²，且 B、C只能是整数。为此可设B=A+1、A+2、A+3…即B=22、23、24、25、26、…再一个一个按公式C²=A²+B²来计算C。先算C²=21²+22²=925，C=√925=30.41，C不是整数，所以不取。往下算C²=21²+23²=970，C=√970=31.14，又不是整数，还得往下算。当算到第7次，终于在B=28时，得C²=21²+28²=1225，C=√1225=35，是整数了，于是得到一组(21、28、35)的勾股弦数。

但事情还未了结，谁知道下面还有没有别的勾股弦呢？于是再往下算。果不其然，算到第51次，得 B=72、C=75，组成(21、72、75)。再往下算到B=220时， C=221，又得到一组(21、220、221)。由于C-B=1了，就停住，计算才完成。总共算了199次，得到三组勾股弦数。

这样算法，仅从A=3、4、5...到100，把全部勾股弦数算出，共276组，总共计算达十五万次，再有初试、返工、复核和其他计算，则工作量更达几十万次。这不是在瞎说。照这样算法，不是太戆了吗？

但‘在下’也不是‘戆大’，我拜托电子表格这个戆朋友来邦忙了。我只须编编公式，拖拖填充柄就可以了。叙述此例的目的，是想说明戆算的方法而己，流程见下表：

从这份戆算结果中，提出合乎要求的三组勾股弦数。

同理，若已知C，求A、B，便先令B=C-1、C-2、C-3…再一个一个来计算A，A=√(C²-B² )且选取其整数者。

若已知B，求A、C，便先令C=B+1、C+2、C+3…再一个一个来计算A，A=√( C²-B² )且选取其整数者。

※3至于为什么要‘戆算勾股弦’呢？这起因于我的一个‘数学猜想’，即：

“4N+1形的质数(5、13、17、…)，必定是整数直角三角形的斜边，即勾股弦的弦”

为什么有这个猜想呢，那又起因于我写完《圆锥体积公式“V圆锥=V圆柱/3=πR²H/3”的数值计算论证》后，作为休息，去翻看我一年前的数论习题笔记。见到上面列了几组勾股弦数：(3 4 5 ) 、(5 12 13) 、(8 15 17)、 (20 2129)并记有：‘这些整数直角三角形的斜边，是4N+1形的质数。’另起一行又写了：

“猜想：4N+1形的质数，可以组成整数直角三角形的斜边。如N=10、4N+1=41、41²=40²+9²”。

这真有点像费马把“xⁿ+yⁿ=zⁿ当n＞２时不成立”的《费马大定理》，写在了一本《算术》书的页边上一样，而有点飘然了。我想起来了，原来是我一年前看了一本王连笑的数学书后产生的一个想法，当时没有去验证，只留下了这样一个“猜想”。

现在就想用这些4N+1形的质数当作弦C，看能不能都可以计算出A、B，构成勾股弦(A BC)，以证实这个猜想。于是我振奋起来，戆算起来。

戆算时，给出C，并令B=C-1、C-2、C-3…计算A=√(C²-B²)，且从中取整数的A，得(AB C) 勾股弦数，当然，其中C是质数。

戆算结果说明‘猜想’成立。我除了对小于521的46个质数作了验证外，还对五千六千以上的21个质数，也作了戆算。并得到(34413640 5009)、 (19884845 5237) 、(2071 5760 6121)等大数勾股弦，它们的弦长5009=1252×4+1、5237=1309×4+1、6121=1530×4+1都是4N+1的质数。算了这么多，该有说服力了。

另外，还对4n+3的质数7、11、19、23、31、43、47、59…107等，也作了验算。结果是，它们一个都没有出现在弦位上。这就反证了，猜想是对的。但也产生了一个迷团，为什么4n+1的质数在弦位上，而4n+3的质数不在弦位上呢？怎样去论证呢？

二戆 算 得 到 的 勾 股 弦 成果表

完成了‘猜想’意愿，本来就可以罢休搁笔。但我对勾股弦的产生机理，却发生一些疑惑。实际上，给出A，求B、c，自来就有一个据称是毕达哥拉斯所创的公式：

己知 A为奇数，则B=(A²-1)/2、C=(A²+1)/2，(其实B=C-1)。

A为偶数，则B=(A²/4)-1、C=(A²/4)+1，(其实B=C-2)。

但上述两个公式，一个A只能产生一组勾股弦。人们不仅要问，难道没有第二、第三、第四组勾股数了吗？为了得到A所能组成的全部勾股弦数，注意，不是一组，而是全部。我想不出一个好方法，只能再次戆算，一看竟究了。

于是给出A，求(A BC)，用前面讲的方法去凑、去戆算。得到一份经几十万次凑算才得到的结果。化了这么多心血，就不愿简略过去，现将结果全录于表一，

ABCABCABCABC

ABCABCABCABC

上表中，有黄色的为基本勾股弦，其余的为派生勾股弦。

三对 勾 股 弦 成 果表 的 分 析

对上表276个勾股弦，一一检视，有以下发现与认识：

※1勾股弦的弦、股之差，可称之为定差，以k表示。k=C-B、即B=C-K。

※2A是质数时，只有一个勾股弦数，k总是为1，即B=C-1，没有例外。

※3A是合数时，匀股弦数有一个的，也有两个、三个、甚至有8个的。

※4若A是合数又是奇数，总会有一个勾股弦的k=1，而其他勾股弦的k总等于3、5、7、9、11…等奇数。

※5若A是合数又是偶数，总会有一个勾股弦的k=2，而其他勾股弦的k总等于4、6、8、10…等偶数。

※6 k的个数和大小，与A的因数密切相关。

质数，只有两个因数，所以只有一个勾股弦数，且k=1。

奇数合数，有两个以上因数，如15=1*3*5，将有3组勾股弦数，k= 1、3、5。

但有的奇数还有奇因子组合的k，如57=1*3*19，理应有3个因子，k=1、3、19，但其中的3还可以组成9(9=3*3)，所以增加了一组k=9的勾股弦，共4组。

偶数合数，有两个以上因数，如6=1*2*3，不取奇因子，只取偶因子为k，所以A=6时，只有一组勾股弦(6 8 10)，且k=2，即C=10，B=10-2=8。

但有的合数有很多因子，如100有以下因子：1、100、2、50、4、25、5、20、10、不取5、25外，应有k=2、4、10、20，共4组(想一下不可能取k=50)，但因子中的2、4、10，它们又可组合成新的偶数因子8、40，因此又多出二组勾股弦，即k=8、k=40，共6组。请看表一最后A=100的6组勾股弦数。当然，这些勾股弦数中，有不少是派生勾股弦数。

A是合数时，也不是任意由因子或因子组合来取K的，K的大小，有一个限度，即当B=A+1时就不往下取了，如(20 2129)的最大K=29-21=8，(119 120 169)的K=49。再往下取A、B要倒置了。

※7对定差k的分析，使我省悟到，定差k不是无序的，且每一个A，最起码有一个k。奇A，k=1。偶A，k=2。其他的k，是A的因数，或者还增加一些因数的组合数。

k=C-B的这个特点，触发了我的灵感。我于是设想，对于合数A可以先作因数分解，并将这些最基本的因数当作K，并令B=C-K，则在A²+B²=C²中，给出A后，又得到B，就剩下一个未知量C了，也就可以解算C了。于是作了以下计算公式的推导。

※8 基本勾股弦的弦C，都是4N+1的数。

四己 知 A，计算 C、B 的勾 股 弦 新 公 式

A²+B²=C²，己知A，求B、C

先解出A的因数k，再设B=C-K，则A²+(C-K)²=C²→A²+C²-2CK+K²=C²

→A²-2CK+K²=0→2CK=A²+K²最后得一组公式：

己知A ， C=(A²+K²)/2K，B=C-K ( k是A的因数)

Ａ奇，Ｋ＝１、３、５、７…除１外，其他Ｋ要先作分析。

Ａ偶，Ｋ＝２、４、６、７…除２外，其他Ｋ要先作分析。

这就是新的勾股弦计算公式。这个公式的最大优点就是不仅仅计算k =1和k=2的基本勾股弦数，还可以根据A的因数，计算不同k时的勾股弦数，如果k选错了，那B、C就会出现非整数，自动报惊，见下面表中的(16127.5 128.5) 、(1771.25 73.25)、(1838.5 42.5) 、(1958.7 61.7 )、(751405.25 1407.25)和(192 911.6931.6 )六个例，由于错了K，就报了惊。

作了大量的计算后，选取一些结果，按不同性质归类，并说明取K的原则：

在这里，有一个意想不到的发现。

当K=1时： 己知A (奇)

C=(A²+K²)/2 K=(A²+1²)/2*1=(A²+1)/2

B=C-K=C-1=(A²+1/2)-1= (A²-1/2)

当K=2时： 己知A (偶)

C=(A²+K²)/2K=(A²+2²)/2*2=(A²+4)/4=(A²/4)+1

B=C-K=C-2=(A²/4+1)-2=(A²-1/2)=(A²/4)-1

这不就是前面所录的毕达哥拉斯所创的公式吗？天哪，原来毕达哥拉斯公式仅是我所推新公式的一个特例。

此外还有一个柏拉图的公式：

A=2NB=N²-1 C =N² +1也与K=2时的新公式相当，也可以说是新公式的一个特例。

我没有自夸的资本，但在计算能力与分析能力方面，现在看来还未老化，确实令我自信。真有“廉颇虽老，尚可用矣“的感觉！但现在退休在家，只有做做算术，戆算戆算，算是散散余热而已，没有什么作为，也就只能自我叹息，自我安慰，自我得意，自我兴奋，自我欣赏，自我陶醉，同时又自我封闭，自我孤独，自我悔恨，自我宽恕，自我责备，自我谅解，自我…，自我…哈哈，这是王蒙笔法了。

五 己知B，计算A、C的勾股弦新公式

A²+B²=C²，己知B，求A、C

己知A时可以先分解出A的因数K。现在己知B，就无法确定K了。但是K=1或K=2始终是有的，它们是基本勾股弦。而基本勾股弦的弦C又是4N+1的数。所以：

当A是奇数时，K=1，而C=4N+1，B=C-1=4N，因此B应是4N 形的偶数。

当A是偶数时，K=2，而C=4N+1，B=C-2=4N-1，亦即B应是4N+3 形的奇数。

现在推导K=1时的公式。

※1当A是奇数时，K=1。应设B=4N，则C=B+K=B+1，所以

A²+B²=C²→ A²+B²=(B+1)²=B²+2B+1→A²=B²+2B+1- B²=2B+1→

A=√（B+1），c=B+1

问题来了。A=√（B+1），能保证是整数吗？第一个数当n=1，B=4，A=√5，就不是整数。为了确保A是整数，还得戆算一下，看B再应该满足什么条件才能确保A是整数。

一路算下去，得A的全部结果，并从中挑拣出整数(黄色表示)。

原N与B的关系己混乱，要重新排序看规律，按新N排序，整理得：

原N0 1361015 21283645 55 …(不取了)

新N012345678910…（新排序）

B041224406080 112144180220…(应取)

A135791113151719 21…(整数)

没有想到，A竟是一个奇数数列2N+1。而B可以归纳为B=2N(N+1)。意思是说，B=4N，还不能保证A是整数，只有B=2N(N+1)，才能确保A是整数。于是

A=√（B+1）→A=√（2N(N+1)+1）=√(4NN+2N+1)=2N+1

最后得

K=1 B=2N(N+1) 、A=2N+1 、 C=B+1

※ 2在此，要总结一下推导新公式的步骤和方法：

1 设置已知元素B及K应等于什么值。本例B=4N、k=1。

2 令C=B+K或B=C-K。本例C=B+1

3 于是A²+B²=C²成为一个未知数的二次方程。可以求A了。本例A=√（B+1）

4 按上述条件取原N=1、2、3…计算一大批A。

5 所得之A有整数也有非整数，将整数选出来顺次排序。

6不要原N，按新的排列N与B‘归纳’‘拟合’为一个B的公式。本例B=2N(N+1)

7将B的新公式代入C、A即得一套公式。本例A=2N+1、C=B+1。

这个流程，适合于己知B再求C、A，也适合于己知C再求B、A。既适合于K=1，也适合于K=2。

这样，便类似推导得其他公式，为避免繁顼，不再详述了。

六勾 股 弦 新 公 式 汇编

己知求求注

A=NC=(A²+K²)/2KB=C-KK是A的因数

A=N 奇C=(A²+1)/2B=C-1K=1

A=N 偶C=(A²+4)/4B=C-KK=2

B=2N(N+1)A=2N+1C=B+1 K=1

B=4N²-1A=4NC=B+2K=2

C =2N(N+1)+1B=C-1A=2N+1K=1

C=4N²+1B=C-2A=4N K=2

附：

A=N 奇B=(A²-1/2)C=(A²+1)/2 毕达哥拉公式

A=N偶B=(A²/4)-1C=(A²/4)+1毕达哥拉公式

A=2NB=N²-1C= N²+1柏拉图公式

七 新 公 式 算例

1己知A求B、C的算例如下，不必戆算了。

2己知B求A、C的算例如下，不必戆算了。

3己知C求AB的算例如下，不必戆算了。

k=1	己知弦C	求勾A	求股B		k=2	己知弦C	求勾A	求股B
N	C=2N(N+1)+1	A=2N+1	B=C-1		N	c=4n2+1	A=4N	B=C-2
1	5	3	4		1	5	4	3
2	13	5	12		2	17	8	15
3	25	7	24		3	37	12	35
4	41	9	40		4	65	16	63
5	61	11	60		5	101	20	99
6	85	13	84		6	145	24	143
7	113	15	112		7	197	28	195
8	145	17	144		8	257	32	255
9	181	19	180		9	325	36	323
10	221	21	220		10	401	40	399
11	265	23	264		11	485	44	483
12	313	25	312		12	577	48	575
13	365	27	364		13	677	52	675
14	421	29	420		14	785	56	783

八质数 与 勾股 弦

※1问题又回到质数。亳无疑问，所有质数都能构成‘基本勾股弦’。问题是位置在什么地方。节录戆算成果，汇成下表：

可以看出：4N+1的质数，既可以在勾位，也可以在弦位。如质数5构成二组：

( 3 45弦位)、( 5勾位、12、13)，是两栖类。

而4N+3的质数，只能在勾位存在，如( 7勾位 24 25 )。

※2关于4N+1的数能出现在弦位上，而4N+3的数不可能出现在弦位上的原因，由于知识太少，所以不解。写完初稿，再去翻翻书，才知道数论上早有论述。说这是费马质数定理：4N+1的质数能分解为两个数的平方和，（如5=1²+2²、13=2²+3²、17=1²+4²等）但4N-1的质数（也即4N+3的质数）就不能分解为两个数的平方和，（如7、１１、１９…）19=？²+？²。这个定理，在费马过后一个世纪，在1749年，才有欧拉给以证明。于是，我原先想不通的又一个问题，“为什么同是奇数的质数，还要分为4N+1与4N+3两类呢”的疑团，也同时解开了。因此，我的猜想也就成为幼稚。不过由此而发戆劲，作了大量汁算，得到成批的勾股弦数组，因而发现了定差ｋ的规律，由此而独立的推导出计算勾股弦的新公式，这不能不算是一件庆幸的事情。我没有白忙，忙而值得。

总之，质数呀，你真是太考验人、太启发人、太吸引人、太振奋人、太鼓舞人、太激励人、太烦恼人、太迷乱人、太为难人、太作弄人、太折磨人、太害煞人了。哈哈王蒙笔法又来了。

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