自从2007年10月12日，陕西省林业厅的官员召开记者会并公布周正龙拍摄到的野生华南虎照片（见图1、图2）后，关于照片真假的辩论就沸沸扬扬，以至闹到外国媒体、闹到要打官司，范围之广和程度之烈为大家始料所不及。双方甚至各自用人头担保，其自信执著，外带天真幽默，不经意间倒激起了我们的笑意和好感。

　　说华南虎照片为假的代表人物是中科院的科学家傅德志老师，主要的一个理由是老虎头上的树叶与老虎大小不成比例。但是，很快周正龙师傅就拿出了一片大树叶，抱在怀里照了相放在网上，这很有说服力。也有人说周正龙所拿的叶子是长的，照片上的叶子是圆的，因而有假。这种说法也不对，长叶子在照片上也可以拍成圆叶子，这没有矛盾。

　　其实，周师傅真的没有必要去找一张大树叶来证明什么，树叶和老虎的头不成比例并不能说明照片是假的。因为照片中前面的物体可以大大超过后面的物体，五分钱的硬币就可以遮住整个月亮，这是生活的常识。一叶障目不见泰山，这是古老的格言。所以，傅教授不该用树叶反驳什么，周师傅也不必用树叶证明什么。树叶和老虎头不在同一个正对镜头的铅锤面上，没有什么可比性。成比例，不能说明照片为真；不成比例，也不能说明照片为假。所以，傅老师用树叶大小来说事，理由确实不足。

　　至于有人从虎的颜色差异、表情温顺、背景的冷暖、眼睛的亮浊，还有老虎为什么没反应等推断照片为假，立刻就有人以相似的理由说出相反的结论，谁都不服谁。所以，我们必须避开这些东西，不能拿这些作为论据。

　　二 为什么要用数学方法

　　能不能避开颜色、表情、冷暖、明暗、亮浊等这些关系呢？完全可以！途径只有一条，那就是用数学的方法。其它如物理的、化学的、生物的方法，都要考虑质量、体积、温度、死活等等，数学却统统把它们抽象掉。

　　数学所研究的点、线、面，没有质量、没有温度、没有浓淡，更不会考虑感情的、经济的、政治的价值。就这次的照片而言，数学只考虑光线的方向和相片内点、线、面之间的关系。这些都已被相机记录了下来了，在网上谁都可以看到。因此大家可以进行客观的、有理有据的辩论，不会出现谁垄断话语权的情况。

　　三 怎样利用数学方法

　　1．空间图形的视角变化

　　先请看下面的图3，在一个正方体的三条棱上各取一点A、B、C，当然空间的这三点是构成三角形的。但是，当你从正方体的正前方看过去的时候，它们却是共线的，不过这样的机会并不多，当你从左边或右边看时，它们构成三角形就一目了然了。

　　如果在一张硬纸板上画一个三角形，那么不论你把这张纸拿到什么地方、用什么角度摆放，客观上它将仍然是三角形而且与原来的三角形全等。但是，在你看它的时候，它可能是变了形的，可能是相似三角形，甚至不再是三角形而被看成一条线段。

　　对于直线或线段，永远不会发生这种情况。具体地说，如果在硬纸板上画三个点，让它们在一条直线上，那么不论你把纸板拿到什么位置，怎样旋转、平移、举高、压低，只要不把纸板弯曲折叠，共线的三点看起来仍然共线，不可能出现本来是共线的三点，换一个位置看却能构成三角形了。

　　一个形象的例子就是：把一根小塑料棒抛向空中，不论它怎样翻转腾挪，看起来仍然是一根小棒（极端情况下是个点）；把一块塑料三角板抛向空中，大多数的时候它看起来是三角板，也有少数时候看起来是一根小棒。

　　总结一下就是：三角板有时被看成是线段，但总有一个角度能看到它是三角板。如果从任何角度看三个点都形成直线，那么这三点一定是共线的。

　　2 是平面老虎吗

　　如果只有一张照片，那么我们的所有计算和推理都是没有价值的，因为从实物到照片是经过变形的，位置关系和数量关系全都改变了。用改变了的数据，来说明原来的问题，那是不可以的（就像傅教授计算叶子比例）。但是，如果照片不止一张，那可就不一样了。因为在不同的照片中，物体是同一的。这两个实物照片之间存在对应关系，其中一些量是不变的。用数学上的专业语言来说，就是射影变换群下有不变量。所以，只要对不同的照片进行比较就可以找到这些不变的东西。因此，笔者的第一想法就是多找几张照片。

　　听说周师傅共拍了70多张，陕西省林业厅也公布了24张之多，我想这应该足够研究的了。可是，等到我找的时候（11月12日），他们已经从网上把这些都删掉了，只有从别处的评论中挖到了三张，按林业厅公布的顺序分别是第1张、第4张和第24张。其中，第4张虎太小，放大后更看不清楚，没法采集点和数据，故舍弃。还好，第1张和第24张非常清楚，拍摄的时间相隔也较长（前后间隔15分42秒），拍摄者移动的角度也很大，可以说非常适合我们的研究。所以，本文只采用这两张（见图1和图2）。

　　具体实施时才发现，在相片上取点并不是容易的事情。为了能在两张照片上把相应的点都明确地确定下来，最好找那些易于标识的点，比如尾巴尖、耳朵尖、爪子尖等，可惜这些点都被树叶遮挡住了。不过还有一些易于标识的点，我们选择的是两只眼睛的瞳孔、鼻子下方嘴唇的豁口下端（点必须尽可能标准确）、后腿上斑纹的末端（3处）、后腿腋凹陷处斑纹的末端（2处）、右耳窝（1处）、右眼眉毛外侧尽头（1处）。选这些点首先是因为它们在两张照片上都能准确地标出来；其次，它们在相片上构成了三点共线（共有6组三点共线）；最后，在真老虎的身上这些三点组明显应当不在同一条直线上。，比如鼻尖点与后腿上点和腿腋凹陷处的点显然不共线、两只眼睛与后腿上的点也不应当共线。

　　问题可以揭示了：按常理推断，在第1张照片（图2）上6个共线的三点组，经过角度变换后再拍的第24张照片（图6），应当显示出三点不再共线，也就是说在第24张拍摄时应显示出三点构成一个三角形。但是据我们的标识，这6个点组没有一个显示为三角形，6个点组仍然还是共线的三点组。

　　如果老虎是立体的，就算是这15分多钟的时间里，始终纹丝未动，头也没动、腿也没动、连嘴都没动，这种情况都是不应该发生的！

　　会不会拍摄者移动的角度太巧合，使得本来共线的三点看起来仍然共线呢？

　　如果一个三角形被拍摄成线段，变换角度再拍还是线段，这种情况是否存在呢？是会存在的。那就是，移动后的拍摄点仍然在由原来三点所确定的平面内（不共线的三点确定一个平面），这样说来可以有无数多个位置能拍出这种效果。这无数多个点组成一个平面。

　　同样地，第二个三角形被拍成线段，变换角度后再拍仍是线段，拍摄者只能在第二个平面内移动。既在第一个平面内，又在第二个平面内的点构成一条直线，拍摄者只能在这条直线上移动。这时，他还可以有无数多个位置，因为直线上有无数多个点。

　　继续地，第三个三角形被拍成线段，变换角度后再拍还是线段，拍摄者只能在第三个平面内移动。再考虑前面两组的要求，拍摄者只能既在前面的那条直线上又在这第三个平面内，那就必须在直线与平面的公共点上。大家可以看到，直线和平面的公共点只有一个。如果拍摄者离开了这一个点，三个三角形中至少一个能看出是三角形而不是线段。现在，有两个位置都把它们拍成了共线的点组，只能说明它们本来就在同一直线上

　　那么，第四个三点组呢？第五个第六个呢？同样如此。

　　一只老虎，腿面上的点与腿腋凹陷处的点还有鼻尖点，是在同一条直线上的；另外好多组点也都在同一条直线上。说明了什么？

　　结论：从这两张相片看，其中的老虎是平面老虎。

　　3 关于移动距离

　　会不会是因为害怕，周师傅在拍摄时移动距离太小，而无法分辨出点的位置在照片上的变化呢？可以对照一下，如果在老虎身体以外的地方取点，情况是不是发生了变化。这些点不能取树叶的尖子处，因为树叶是随时会被风吹动的。我们取的是一根枯枝的顶端，一根树枝的陡拐弯处（请大家对照照片找一下），第三处是老虎的鼻尖（从上面的分析，我们认为老虎鼻子没有运动）。在周正龙的第1张照片上，这三点是形成一条直线的；在第24张上，这三点形成明显的三角形（图7，图8）。

　　这说明对于空间的三个点，拍摄位置的移动已经足以引起点的相对位置的变化。

　　但是，这里取一根树枝的顶端和另一树枝的拐弯处，距离相对较大，而老虎的身体相对要小一些，会不会我们作图不精确而没有发现它们的变化呢？这可能是有疑问的地方，不过从水平尺寸上看，这三点并没有超出老虎身体的范围，误差不会影响最终结果。如果有人能提供更多的照片，应当可以消除这一疑问。

　　4 会是合成照片吗

　　有的人干脆说照片是电脑合成的，下面也来做个分析。如果把老虎照片和背景照片叠加，只做出一张照片来，则从照片上不可能发现问题。但是我们有两张照片，而且这两张照片的右半部分的树叶明显不同，所以这不是同一张照片的放缩。这就足够了。

　　（1）如果是背景平移后重新合成，则所有对应点的连线都是平行且相等的线段，所有三角形将被平移成全等的三角形，从图7和图8看，不是这样。

　　（2）如果是旋转后再叠加，则所有过旋转中心的对应线段将被旋转相同的角度，从图7和图8看也不是这样。

　　（3）如果是既有平移又有旋转，则是平面到平面的射影变换，三角形只能变为三角形，从图7和图8看也不是这样。

　　综合以上的分析，我们认为这两张照片不是电脑合成，而是实地拍摄的。但是其中的老虎不是真老虎，也不是布绒玩具虎，而是一张平面老虎。

　　如果能拿到更多的照片，可以用同样的方法加以分析，大家都可以做，也许会有新的发现。现在不用怀疑拍摄现场是真的，所以就不要再浪费老百姓的血汗钱，去还原拍摄现场了。

　　四 结束语　　本文中所用的数学知识，属于射影几何和画法几何，尽量避免了数学术语。中国清代数学家年希尧所写的《视学》一书（1729年刊刻），被公认为世界上最早的画法几何典籍之一，与法国的蒙日（1799年作《画法几何学》）共享首创一门学科的荣耀。另外，对于射影几何，苏步青先生及其学派也造诣高深、贡献巨大。射影几何有一条重要定理：同一直线上四个点的交比（即简比的比值，又称双比）是射影变换下的不变量。可以根据此原理研究对应四点在两张照片上的交比，看看它们等不等。如果都等，就是平面老虎；如果不都等，就是立体老虎。但是本文已经没有必要再做这一工作了。我之所以絮絮叨叨地说这么多，是想在大家都能认可的证据下，通过理性的思考得到一点结论。大家不妨争论，但是一定要把事情弄清楚，不要吵到最后没有结果。否则，我真担心神农架野人、天池水怪、喜玛拉雅雪人等等也出现照片、并同样不了了之。这不光是影响视听的问题，也在国际上留下不诚信的恶誉，毁掉的可能是全体中国人的道德形象。

（南京市第十三中学孙四周）2007年11月17日22:45 扬子晚报

教师用数学方法断定华南虎照片为假虎

在南京玄武门孙老师的家中，孙老师给记者讲述了他发现的方法，表情甚是激动。在华南虎身上找一组共线的三个点，那么在另外一个观测角度、或者另外一个时间段，老虎身上这同样位置的三个点就应该构成一个三角形，因为老虎是活的，它是立体的。反之，如果老虎本身就是一个平面（诸如照片），那么这共线的三个点还在一条直线上。按照孙四周的方法，照片越多就越容易判断其真假，因为对比越多。但等孙老师开始搜集时，大部分已删，只找到了三张。按陕西省林业厅公布的顺序分别是第1张、第4张和第24张。其中，第4张虎太小，放大后更看不清楚，没法采集点和数据，故舍弃。“还好第1张和第24张非常清楚，拍摄的时间相隔也较长（前后间隔15分42秒），拍摄者移动的角度也很大，可以说非常适合我们的研究。”孙四周老师告诉记者。

相片上取点并不容易。为了能在两张照片上把相应的点都明确地确定下来，最好找那些易于标识的点，比如尾巴尖、耳朵尖、爪子尖等，可惜这些点都被树叶遮挡住了。不过还有一些易于标识的点，孙老师选择了老虎两只眼睛的瞳孔、鼻子下方嘴唇的豁口下端、后腿上斑纹的末端、后腿腋凹陷处斑纹的末端、右耳窝、右眼眉毛外侧尽头等处。选这些点，是因为它们在两张照片上都能准确地标出来；其次，它们在相片上构成了三点共线（共有6组三点共线）；最后，在真老虎的身上这些三点组明显应当不在同一条直线上。比如鼻尖点与后腿上点和腿腋凹陷处的点显然不共线、两只眼睛与后腿上的点也不应当共线。结果，孙老师发现，在第1张照片上6个共线的三点组，经过角度变换后再拍的第24张照片中，应当显示出三点不共线，也就是说在第24张拍摄时，这三点应构成一个三角形。当孙老师将这些点连起来时，6个点组仍然还是共线的三点组。也就是说，在这两张照片所显示的间隔15分钟时间里，这只活老虎始终纹丝未动，头也没动、腿也没动、连嘴都没动。显然，在自然状态下，这种状态不可能发生。更为关键的是，两张照片共线的三点组还说明，照片中这只老虎本身是平面的。

通过同一方法，孙老师发现，陕西省林业厅公布的照片中，背景却是真的——第一张照片中，取出的几组共线的3个点，在第24张照片中，无一例外，都变成了三角形。据此，孙老师认为，陕西省林业厅公布了现场还原的照片，并不能说明华南虎的真假，因为照片的背景本身就是真实的。“背景是立体，而老虎却是平面的，据此就可证明所谓的华南虎是假的。”孙老师推测，这张照片有可能是拍摄者找到一个拍摄地，然后将华南虎的平面图像构置在画面中间然后拍成的。“最新消息说，照片中华南虎的来源是一张年画，这个说法较为可信。”孙老师笑着说。

据申桂萍说，孙四周是个诗人，富有浪漫主义色彩。
事实上，我看过他个一首诗，《致爱人》，写的还不错。还有一篇论文，《关于上帝存在与否推出的悖论》，前面全是数学词汇（这也能用数学证明？），最后才一句“上帝无处不在，换句话说，上帝无处在，那么，当上帝无处在时，上帝在哪里？”哇~通篇我就对这句有点印象~
动感数学创始人，研究几何时，还用他的名字命名了一个点。
以前教过我的，不过他已调走了。想他~

现任29中高一12班班主任也就是我的老班magic孙最新著作数学研究恐龙

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