爱华网现有的有负数的加减乘除法的运算法则的推导方法从效果上说主要存在以下两个缺陷：
１、没有简单的独立的减法运算法则（当然复杂的就不会让它出笼）．
２、没有求多个整数的连加式的和由计算法变为接龙看数法．
现有推导方法犯了逻辑错误，具体说主要有以下几个方面问题：
１、将数轴作为推导加法运算法则的前提，这是犯了“循环论证”的逻辑错误．因为要设计数轴，首先要知道数的大小，要知道数的大小，就要会求两个数的差，要会求两个数的差，就必须会运用加减法运算法则计算，所以数轴中已含有加减运算法则的意思.本来，用箭这样的形推导加法运算法则是必要的，但由于现有推导法中的箭图（由箭和箭构成）没有箭图的基础——线段图的配合，就不会仔细分析箭与箭的关系（即使分析出来也没有什么作用），于是就将箭图置于数轴下，数轴起的作用是：箭图中的和的箭头所对应的数轴上的数就是和值，这样，简单倒是简单，但这给反推加法运算法则带来了困难（本文因为得到了组合式子，反推起来简单）.
２、对于减法，现有推导方法最有可能想到仿照加法而采用数轴加减法箭图的方法，但为什么没有采用数轴加箭图呢？这是由下面三个原因之一造成的.一是受加法的影响，加法举实际例子所画出的箭图很好理解，不需要仔细分析箭与箭的关系，但减法从实际例子中很难找出很好理解的箭图，再加上受加法不分析箭与箭的关系的影响，所以就不去考虑减法箭图了；二是假定找到了一般减法箭图的画法，在采用了数轴加箭图方法后，但如果图２中的被减数的线段图下的左侧线段为减数，右侧线段为差，由此为基础所画出的箭图中的差的箭头所对应的数轴上的数就不是差值，当然，不能采用数轴加箭图的方法；三是即使采用数轴加以图２为基础所画出的箭图的方法，能得出差的箭头所对应的数轴上的数就是差值，但由于各减法所得的差的式子总结不出简单的独立的减法运算法则，故也可能不想采用数轴加箭图的方法（如同在倒洗澡水时将婴儿也倒出去了）．那没有减法运算法则怎么办呢？于是现有推导方法想将减法变为加法，如果用这里的第三种方法，也能象本文那样逻辑地得到文字性的减法附随运算法则（当然是在不计“循环论证”的逻辑错误的情况下），由于现在推导方法不采用，所以只剩下如下方法：先设一个减法，求出差，再用这个减法中的被减法加上减数的相反数，求出和，最后比较这两个计算式，得到减法附随运算法则，但在推导过程中会出现 （？）＋（－３）＝－８. 这相当于方程，不能采用解方程方法，如解方程，就又回到原减法： －８－（－３）. 于是，现有推导方法就采用如下方法〔根据由王建磐主编 华东师范大学出版社出版的《数学》初中一年级（七年级）（上）〕：根据有理数的加法运算，有
－５＋（－３）＝－８， 但“根据有理数的加法运算”，那究竟是根据数轴加箭图〔这里与上述的数轴加减法箭图不同，指对 （？）＋（－３）＝－８ 采用数轴加箭图的方法〕的方法还是根据加法运算法则来确定的呢？现在来分析一下，如果是根据数轴加箭图的方法确定，由数轴加加法箭图知：被加数的箭尾与和的箭尾都同数轴上的原点O相重合，加数的箭头与和的箭头相重合，箭尾与被加数的箭头重合，由于无论是加数的箭头或箭尾所对应数轴上的数一般都不是加数值，所以要采用类似本文对箭图求组合式子的方法，当然就不需数轴了，因此现有推导方法不可能根据数轴加箭图的方法，但如果根据加法运算法则来确定，但待定数与确定数相加怎么能运用加法运算法则进行计算呢？所以，现有推导方法是犯了“推不出”的逻辑错误． 那由现有推导方法所提供的知识能不能用非正常算法求出 （？）+（-3）=-8 中的“？” 当然可以．就是（所讲的其它算法都是“论旨不明”）：先猜，后用加法运算法则证明.说到“猜”，无论编者还是老师都是忌讳的（这是可以理解的，因为只能在“概率论”这门课程中或涉及概率问题中说“猜”没有什么疑惑，但在其它方面涉及“猜”则会引起疑惑），编者没有说“猜”.如果老师说“猜”，那学生就会疑惑；如果老师不说“猜”，照本宣科，那学生就会存在更大疑惑.因此，现有推导方法在减法上不是犯了“推不出”的逻辑错误，就是存在疑惑.
3、至于乘除运算法则的现有推导方法，现在用的是相反数方法，这是犯了“预期理由”的逻辑错误，如 6 与 （-6） 互为相反数，但凭什么断定如 6×（-3） 与 -6×（-3） 互为相反数？果真如此，那试问：
6+（-3） 与 -6+（-3） 是否互为相反数？由于除法运算法则依赖乘法运算法则，当然也犯了“预期理由”的逻辑错误．
现有推导方法之所以会犯逻辑错误，一是没有重视小学里的加减乘除法知识，使得好象有负数的加减乘除法知识与小学里的加减乘除法知识隔着万里长城，没有多少继承性，二是没有重视“箭”这样的形，都是在迫不得已的情况下不自觉运用小学里的加减乘除法知识和“箭”．
固然，就重要性来说，实践证明第一，逻辑证明第二；但就次序来说，逻辑证明第一，实践证明第二.如果现在又发现了世界上没有见过的果实，那究竟能不能吃呢？如果有个人用鲁迅先生的“吃螃蟹”精神先尝尝这个果实去证明这个果实能不能吃，那真是愚蠢至极，因为现在科学技术发达了，所以对这个果实应是先采用观察、实验、论证等等科学方法去证明这个果实能不能吃，那“吃螃蟹”精神在现代究竟重要不重要呢？当然重要，因为总有不少人在逻辑证明过关后不愿意第一个尝这个果实.其实，古人们对有负数的四则运算法则并没有满足实践证明，而是不断地探索逻辑证明，因为知道没有一个严密的逻辑证明会使得老师要使学生理解要很吃力地举好多个实际例子说明，也很难完全理解，好多学生只好死记硬背.可以说，从有负数的四则运算法则诞生约二千年来，人们一直困扰于四则运算法则等代数的逻辑体系没有几何的逻辑体系严密.如《数学：确定性的丧失》一文中说：“……15世纪的丘凯（NicolasChuquet）和16世纪的斯蒂费尔都把负数说成是荒谬的数……”、“在十七世纪……负数对数学家的困扰，远甚于无理数，大概是因为负数没有现成的几何意义，并且它的运算规则也非常奇怪.”但就在这评价之前的庞贝利发明了数轴，还是上文中说：“总的来说，在16、17世纪……庞贝利假定在实数和直线上（给定长度单位）的长度存在一一对应关系，他还定义了长度的四则基本运算，他认为实数及其运算已通过这些长度及对应的几何运算进行了定义.这样一来，实数体系就在一个几何的基础上合理化了. ”于是，数轴在没有更好的逻辑证明下虽在有人反对声中还是加强和固定到现在．但是，直到现在还在探索逻辑证明，如对乘法法则，华东师范大学出版的《数学》采用的是相反数方法，而在这之前的人民教育出版社出版的《代数》采用的是数轴加箭的方法（小的改动就不说了）.
总起来说，现有推导方法违反了由已知到未知、由浅入深、循序渐进（尽管头脑思维可能有“飞跃”，但在文章不能有“飞跃”，一定要探究出“飞跃”的原因，如探究不出来，就要在文章中作出说明，这才是实事求是的科学态度）的严谨要求.
鉴于现有推导方法的问题，为了使推导方法具有逻辑严密，与小学加减乘除法知识关系密切，容易学习和理解，可信度高，能产生新知识的特点，本文重新建立了有负数的四则运算规律（法则）的推导方法.
加减法计算的零法和逻辑结构
《数学：确定性的丧失》一文中说：“到17世纪末，数和代数已被认为是独立于几何而存在的.数学家们为什么没有致力于逻辑上的发展呢？既然有像欧几里得《原本》中所包含的几何的演绎推导结构呢？这是因为几何的概念、公理和原理从直观上看，远比算术和代数易于接受，画图（在几何中称作图）可以辅助解释结构.但无理数、负数和复数的概念却微妙得多，即使可以得到图形，也无法解释数学作为数和建立于数系基础上的字母表示法的逻辑结构.”遗憾的是，直到今天加减法的计算还没有定义、公理、定理的逻辑结构，这附录里的推导方法——零法就是为了建立加减法计算的逻辑结构（正文部分的推导方法是零法的变种，也有严密的逻辑结构，但依赖于几何图形）．
定义：只是性质符号不同的两个数就叫互为相反数，如 -6 与 6 互为相反数或 -6 是 6 的相反数， 6 是 -6 的相反数．
公理：零减去一个正数，等于这个正数的相反数（与这相对应的公理是：零加上一个正数，等于这个正数本身）．
如： 0-1=-1，0-2=-2，0-4.5=-4.5……
定理：互为相反数的两个数相加得零.
例如： -5+5=0
证明：因为 0-5=-5， 根据差加减数等于被减数得：
-5+5=0， 即证．
从小学数学知识可得如下两个定理：
加法定理：被加数（加数）加上一个正数，加数（被加数）减去这个正数，其和不变．
如： ５＋８＝（５＋２）＋（８－２）， ５＋８＝（５－２）＋（８＋２）……
减法定理：被减数、减数同加上（同减去）一个正数，其差不变．
如： １０－６＝（１０＋３）－（６＋３）， １０－６＝（１０－２）－（６－２）……
补充公理：一个数加上（减去）零，还是这个数．
利用公理、定理、加法定理、减法定理、补充公理就可以计算加减法了．
加减法（当然不包括两个正数相加、较大正数减去较小正数）的计算方法是：对其中的负数，加上这个负数的相反数，其中，对于较小正数减去较大正数的减式，被减数、减数都同减去较小正数；对于负数减去负数的减式，被减数、减数都同加上减数的相反数．再运用加法定理或减法定理使得加减混合式与原加减式相等，最后对加减混合式运用定理、公理、补充公理进行化简，对括号中的两个数的加减式是小学数学的加减式进行计算（如果括号中的两个数的加减式不是小学数学的加减式，再重复计算方法，直到括号中的两个数的加减式是小学数学的加减式，算出和或差为止）．
下面举例：
3+（-2）=3-2+（-2+2）=1+0=1
-4+2=-4+4+（2-4）=0+2-4=2-4=2-2-（4-2）=0-2=-2
-3+（-2）=-3+3＋（-2-3）=0-2-3=-2-3=-2+2-（3+2）=0-5=-5
6-（-3）=6+3-（-3+3）=9-0=9
-7-（-3）=-7+3-（-3+3）=-7+3=-7+7+（3-7）=3-7=3-3-（7-3）=0-4=-4
如果有人认为这种算法容易，那真是萝卜白菜，各有所爱了．
（用零法的效果和绝对值一样可以推导出现有加法运算法则，用类似现有推导方法和相反数一样可以但能合乎逻辑地推导出现有减法运算法则）
【选自二O一O年十二月十一日本人写的《便于学习和理解的有负数的加减乘除运算》论文】
【欢迎本人到你单位讲学】
山西省襄垣县侯堡潞安集团机关 李功儒
二○一○年十二月十一日
邮编：026204
