数学归纳法典型例题 数学归纳法大题例题

1．证明等式

∴等式成立．

②假设n＝k时等式成立

那么n＝k＋1时

由①②可知，对任何n∈N等式均成立

例2求证：(n＋1)(n＋2)……(n＋n)＝2ⁿ·1·3·5……(2n-1)(n∈N)

证明①当n＝1时等式左边=2，等式右边=2×1=2∴等式成立②假设n＝k(h∈N)等式成立

即(k＋1)(k＋2)…(k＋k)=2k·1·3·5…(2k-1)成立

那么n＝k＋1时

(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)

＝2(k＋1)(k＋2)(k＋3) …(k＋k)(2k＋1)

＝2^k+1·1·3·5…(2k-1)[2(k＋1)-1]即n＝k+1时等式成立由①②可知对任何n∈N等式均成立．

说明由k过渡到k＋1时，等式左边增加的因式是(2k＋1)(2k＋2)且减少一个因式(k＋1)，故在假设基础上两边同乘以2(2k＋1)．

例3是否存在常数a、b、c使得等式

解假设存在a、b、c使题设等式成立，这时

令n=3得：70=9a＋3b＋c

解之a=3b＝11c＝10

于是当n＝1，2，3时

记S_n＝1·2²＋2·3²＋…＋n(n＋1)²

假定n＝k时上式成立，即

那么当n＝k＋1时

S_k+1=S_k＋(k＋1)(k+2)²

也就是说等式对n=k＋1也成立．

综上所述，当a=3，b＝11，C＝10时，题设的等式对一切自然数n成立．

2．证明整除问题

例4用数学归纳法证明：n³＋5n(n∈Z)能被6整除。

证明(1)当n＝1时，n³＋5n＝6能被6整除。

(2)假设当n=k(h∈N)时结论正确，即k³＋5k(k∈N)能被6整除，那么

(k＋1)³＋5(k＋1)=(k³＋5k)＋3(k²＋k＋2)

∵k∈N时，k²＋k＋2是偶数

∴3(k²＋k＋2)能被6整除，于是(k²＋5k)＋3(k²+k+2)能被6整除。

由(1)、(2)可知，对任何n∈N结论正确。

例5求证aⁿ⁺¹＋(a＋1)^2n-1能被a²＋a＋1整除(其中a＞0，且a≠1)。

证明(1)当n＝1时，a^n＋1＋(a＋1)^2n-1=a²＋a＋1能被a²＋a＋1整除，即n=1时，命题成立。

(2)假设n=k时，a^k+1＋(a＋1)2^k-1能被a²＋a＋1整除，那么当

n＝k+1时，a^k+2＋(a＋1)^2k＋1

＝a·a^k+1＋(a＋1)²(a＋1)^2k-1

＝a［a^k+1＋(a＋1)^2k-1］＋(a＋1)²(a＋1)^2k-1-a(a+1)^2k-1

＝a[a^k+1＋(a＋1)^2k-1]＋(a²＋a＋1)(a＋1)^2k-1

由归纳假设知，a^k+1＋(a＋1)^2k-1能被a²＋a＋1整除。

故a^k+2＋(a＋1)^2k+1能被a²＋a＋1整除。

∴当n＝k＋1时，a^k+2＋(a＋1)^2k+1能被a²＋a＋1整除。

由(1)、(2)可知，命题对任n∈N均成立。

结论。

3．证明几何问题

用数学归纳法证明与自然数n有关的几何命题，由k过渡到k＋1常利用几何图形来分析图形前后演变情况．

例6有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n²-n＋2个部分．

证明①当n＝1时，即一个圆把平面分成二个部分f(1)=2

又n＝1时，n²-n＋2＝2，∴命题成立

②假设n＝k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k²-k＋2个部分，那么设第k＋1个圆记⊙O，由题意，它与k个圆中每个圆交于两点，又无三圆交于同一点，于是它与其它k个圆相交于2k个点．把⊙O分成2k条弧而每条弧把原区域分成2块，因此这平面的总区域增加2k块，即f(k＋1)＝k²-k＋2＋2k=(k＋1)²-(k＋1)＋2

即n＝k＋1时命题成立．

由①②可知对任何n∈N命题均成立．

说明本题如何应用归纳假设及已知条件，其关键是分析k增加“1”时，研究第k＋1个圆与其它k个圆的交点个数问题．

4．证明不等式

例7已知：x＞-1且x≠0，n∈N，n≥2

求证：(1＋x)ⁿ＞1＋nx

证明①当n=2时，不等式左边=(1+x)²=1+2x+x²右边=1+2x

∵x²＞0∴原不等式成立

②假设n=k(k≥2)时，原不等式成立

即(1+x)^k＞1+kx成立

那么当n=k+1时，∵x＞-1，∴1+x＞0

于是有(1+x)^k+1=(1+x)(1+x)^k＞(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx²＞1+(k+1)x(kx²＞0)

即n=k+1时，原不等式成立

由①②可知，对任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立

例8已知n≥2，n∈N

②假设n=k时，原不等式成立．

由①②可知，对任何n∈N(n≥2)，原不等式均成立．

说明由k到k+1，例7用的是放缩法，例8用的是分析法．

例9求证，当n∈N，n≥2时

2)假设n=k时不等式成立，那么当n=k+1时

∴当n=k+1时不等式成立．

根据1)、2)可知，n∈N，n≥2不等式都成立．

说明①本题n不是取1，而是取2．

②在运用数学归纳法证明和自然数有关的不等式时，经常需要在证明过程中(从k到k+1的过程中)与证明不等式的其他方法如：分析法，基本不等式法，放缩法，△法等相结合，才能成功地完成整个证明．本题就用了放缩法．

5．证明与数列有关的问题

2(n≥2)

计算S₁，S₂，S₃，S₄猜想S_n的表达式，并用数学归纳法加以证明．

用数学归纳法证明：

即n=k+1时猜丰收成立

由①②可知，对任意自然数n，猜想结论均成立．

说明数学归纳法的实质：“先归纳，后演绎”．即先以特殊情况下的结论为基础，提出归纳假设，再从归纳假设通过渲绎推理证明结论的正确性．