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我们称 为正定(positive definite)；将上述条件放松为
，
则 称作半正定(positive semidefinite)。 改变正定和半正定的不等式方向就有 是负定或半负定的概念，也可以说 是正定或半正定。 如果 可能是正值也可能是负值，则称 是未定的(indefinite)。
传统习惯将对称也纳入正定的定义中，一方面是因为对称正定矩阵有较丰富的代数性质，另一个原因是对称正定矩阵的分析就足以应付其他一般的正定矩阵。关键在于任意实方阵 必可表示为实对称矩阵与反对称(skew-symmetric) 矩阵之和， ，其中
直接计算检查可验证 且 。 考虑算式
。
利用反对称矩阵性质，
。
最后一个步骤使用 ，上式结果迫使 ，所以
。
这指出 是 的对称部份，因此检查对称正定矩阵已足够确认任意矩阵是否为正定。
下面我们讨论正定矩阵最重要的性质。 设 是实对称矩阵，若 是正定，则 的特征值皆为正值，反之亦然。 证明过程由实对称矩阵是可正交对角化此一性质出发，详细内容请见“ 特殊矩阵(二)：正规矩阵 ”。 令 ， ， 是 的特征值， 的所有行 由正规正交特征向量组成。 若 是正定的，对任意 就有
。
反过来说，若 ， ，令 ，因为 ， 必定为非零向量，则
。
初次接触正定矩阵的读者或许会对其意义感到困惑，主要原因是它的定义形式与其他特殊矩阵不同。在一些应用领域中，如最佳化(optimization)和多变量分析(multivariate analysis)，问题叙述经常出现二次型(quadratic form) ，我将另文详细说明这个过程，目前仅就定义给出的不等式应当如何解释正定或半正定矩阵本身的几何意义呢？
考虑 的情况，矩阵 和向量 分别退化为纯量 和 ，如果对任意非零 都有
。
我们说 是正定的，或简洁的说 是正的( )，则 与 有相同的正负号。 当 时，令 为 与 的夹角，此夹角的余弦为
。
上式中， 与 的内积为正值表示经线性变换后的向量 与原向量 的夹角小于 。 见下图， 为超平面 的法向量，正定矩阵 保证变换后的向量 与原向量 都位于超平面 的同一侧。 举例而言，正交投影矩阵 满足 且 ，其特征值只能有 或 (见“特殊矩阵(五)：幂等矩阵 ”)，故正交投影矩阵是半正定，向量 与其投影 的夹角不大于 。
正定变换的像和原向量位于超平面的同一侧
对称正定矩阵的对角化形式 也提供了两种等价的几何解释：
矩阵 相似于 ， 参考有序基底 的变换矩阵即为主对角矩阵 。 由于每个主对角元都大于零，对称正定矩阵具有分别拉伸各主轴(即特征向量方向)的功能，而伸缩量即为特征值。
我们还可以将 解释为连续执行的三个线性变换，先旋转 ，接着拉伸 ，最后又逆旋转 。 注意，正交矩阵的几何意义就是让座标轴在向量空间旋转。 (这个说法不是非常精确，前提是 的行向量必须适当排序。 )
正定或半正定矩阵与奇异值分解有密切的关系，对于任意 阶矩阵 ，交互乘积 和 的特征值都不为负值，故 和 是半正定矩阵，详细介绍请见“ 奇异值分解(SVD) ”。 另外，正定矩阵也出现于极分解，任意实方阵 都可被分解为 或 ，其中 是正交矩阵表示旋转， 和 是半正定矩阵表示拉伸，详细内容请参考“ 极分解 ”。
正定矩阵的性质与判别方法
本文将深入研究正定矩阵的一些性质及判别方法。以下讨论将我们习惯的实矩阵延伸至复矩阵，对复矩阵不熟悉的读者，请先参阅“ 从实数域到复数域 ”。 令 为一 阶共轭对称，亦称Hermitian 矩阵。 若任意非零向量 满足，
我们称 是正定(positive definite) 矩阵；如果仅满足
，
则称 为半正定(positive semidefinite) 矩阵。 事实上，在复正定或半正定矩阵的定义中， 是Hermitian 矩阵的假设是多余的。 若对于任意 ， 是实数，则 必为Hermitian矩阵(见“ 特殊矩阵(九)：Hermitian矩阵 ”)。 但如果 是实正定矩阵，纵使对于任意 都有 ，仍不能保证 是对称矩阵。
首先，我们引进必备的新概念与符号。 令 为 的子集合， 表示 的补集合， 表示集合 的元素总数。 对于所有的 ，将 阶矩阵 的第 列与第 行同时删除，可得到一个 阶主子阵(principal submatrix)，以 表示。 例如，
。
下面是几个主子阵的例子：
。
性质一：正定矩阵的任一主子阵都是正定的。
类似主子阵 的符号表示，对于 ，我们定义 为删除了 的补集合元素后得到的向量，显然 是 维向量。 对于任何 ，令 的第 个元为零，就有
。
由于 是任意的，这指出 是正定矩阵。 上例中， 与其主子阵 都是正定矩阵，判定方法将于稍后介绍。
由性质一立刻得到正定矩阵的主对角元都是正数，原因是每个主对角元 都对应一个主子阵 ， 。
性质二：正定矩阵的特征值皆为正数。
设 为正定矩阵 的一个特征值， 为对应的特征向量， ，则
。
所以， ，分子与分母都是正数，故。
由性质二并利用矩阵特征值、行列式与迹数(trace)性质，不难证明以下结果。 设 ， ，为正定矩阵 的特征值， 是可逆的， 和 也是正定矩阵，且
。
从性质一还可推论出每个主子阵 都享有相同性质： 是可逆的， 和 也是正定矩阵， ，且 。
性质三：正定矩阵的轴(pivot)都是正数。
考虑 ，将 以 表示， 保留 阶矩阵 的前 列与前 行所形成的 阶领先主子阵(leading principal submatrix)。上例中，
。
性质一告诉我们所有的领先主子阵 都是正定矩阵，由性质二的必然结果可知 ，利用这个事实可推论出性质三。
性质三牵涉了轴，显然与执行高斯消去法产生的LU分解有关(见“ LU分解 ”)。 若矩阵 可以分解为
，
其中 是下三角形矩阵， ， 是上三角形矩阵， ， 是主对角矩阵，主对角非零元 称为轴。 将 以分块矩阵表示为
。
对于任意 ，顺序主子阵可表示为 ，也就是说，我们可以单独对 执行高斯消去法，其结果即为 的LU 分解。
计算 的行列式：
。
因此 ，且若 ，
。
既然正定矩阵 的顺序主子阵满足 ，必定有 ， 。 反向陈述也为真，若 的轴全为正数，则所有顺序主子阵行列式也都为正数。 这个结果也说明，如果 的所有领先主子阵 都是可逆的，在不使用列交换的限制下，高斯消去法总能够得到 分解式。
性质四 ：正定矩阵 可表示为 ， 是可逆矩阵。
Hermitian 矩阵是可酉对角化(unitarilydiagonalizable)，亦即 ，其中 ， 是么正矩阵， ，参见“ 特殊矩阵(三)：么正矩阵（酉矩阵） ”。 由性质二，所有 ，故对于 ， 的正定 次根， ，满足 。 因为正实根 定义良好， 是唯一的， ，其中 。 令 ，亦即 正定平方根，则
另一种方式是设 ，因为
目前已知存在几种简易有效的判别正定矩阵方式，分别建立于上述正定矩阵性质之上。
判别法一 ：若 阶Hermitian 矩阵 的特征值皆为正数，则 是正定矩阵。
这是性质二的反向陈述。Hermitian 矩阵可酉对角化为 ，对于任意非零向量 ，就有
上式中，我们令 ，不等式成立的原因是所有 ，且 不全为零。
上例 有特征值 ， ， ， ，判别法一推论 是正定矩阵。 判别法一必须解出所有的特征值，故不适用于手算大尺寸矩阵，下面我们介绍利用高斯消去法来判别正定矩阵的方法。
判别法二 ：若 阶Hermitian 矩阵 的轴皆为正数，则 是正定矩阵。
若 的所有轴皆为正数， ， ，由性质三的推论结果得知 必可分解为 ，又因为 ，故
。
比较 ， 形式，得到 ，因此 。 对任意非零 ，就有
。
上式不等式成立的原因与判别法一使用的理由相同。
上例 分解如下：
。
所以， ， ， ， ，由判别法二得知 是正定矩阵。 继续使用性质三得到的结论，也就有判别法三。
判别法三 ：若 阶Hermitian 矩阵 的领先主子阵的行列式皆为正数，则 是正定矩阵。
上例中，领先子主阵行列式为 ， ， ， ，由判别法三亦可得知 是正定矩阵。
判别法四 ：若 阶Hermitian 矩阵 可表示为 ， 是可逆矩阵，则 是正定矩阵。
判别法四是性质四的反向陈述。 原因很简单，因为 是可逆矩阵，对于非零向量 ，必定有 ，因此
。
最后我们补充性质四与判别法四的必然结果。 若 是 阶正定矩阵，则 可表示为 ， 是下三角形可逆矩阵，所有 ，相反陈述同样为真。 此分解式称为Cholesky分解，正定矩阵的Cholesky分解是唯一的。
本文参考
1. CR Johnson，Positive definitematrices， American Mathematical Monthly ，77(1970)，259-264。
2. G. Strang， Linear Algebra andits Applications ，3rd ed.，1986，330-334。
