爱华网负数的补码的一种证明方法
叶 嘉 黄珍生
（广西广播电视大学理工学院 广西南宁 5--30022）
[摘要]本文首先介绍了负数补码和反码的定义，并用例子验证定义的正确性，然后从负数补码、反码的定义出发，给出了负数的补码等于该负数的反码与末位加1之和这一命题的一种证明方法与验证。
[关键词]补码；反码；证明
[中图分类号]TP311.1 [文献标识码]A [文章编号]1008－7656(2005)03－0065－02
任意一个二进制数真值在计算机中用机器数来表示，最基本的机器数有三种，即原码、补码和反码。[1]在计算机的运算过程中，根据不同的运算运用不同的机器数，可以简化计算机运算过程并很快得到运算结果。如乘法和除法用原码参与运算比较方便，符号位通过异或运算即得结果的符号位；而加法与减法运算用补码参与运算比较方便，它使符号位不用单独处理，可以一起参与运算。在计算机中，三种机器数能方便、容易地进行转换，这给使用带来极大方便。其转换要点有三：
（1）将一个数的二进制真值的最高位置上符号位（正数用0，负数用1表示），就是这个数的原码。
（2）对于一个正数，其原码、补码、反码在计算机中的表示代码相同，其代码不用改变。
（3）对于一个负数，将原码的符号位（即二进制数的最高位，也即原码最左边的那一位）保持不变，数值位逐位取反（变为反码），末位（即最右边的那一位）加1，即得补码。也就是说，一个负数的补码等于该负数的反码与末位加1之和。[1]
本文要讨论的问题即第三个要点。这一要点在许多计算机原理的教材中使用，但很少见到这一命题的完整推导或证明过程，这给学生在学习本章节内容时只能被动地接受命题，不了解例题的理论依据。因此，教师在教学中适当地从理论的高度论述原码、补码和反码之间的转换关系很有必要。本文从补码、反码的定义出发，给出这一命题的简单证明，与同行分享与讨论。
一、对于定点负整数
(一)、补码的定义[2]如下：
[X]补=2n＋XMOD(2n)（1）
从定义知，一个n位二进制定点负整数，求其补码时，用2n为模数加上该负数即可。
例如：已知n=8，X=－1010101，则
[X]补=2n＋X=28＋(－1010101)
=100000000－1010101
=10101011
(说明：28的二进制为100000000，简记：28的二进制为1个1后有8个0)
（二）、反码的定义[2]如下：
[X]反=(2n－1)＋X[MOD(2n－1)]……（2）
从定义知，一个n位定点负整数，求其反码时，用2n－1为模数加上该负数即可。
例如：已知n=8,X=－1010101，则
[X]反=(2n－1)＋X=(28－1)＋(－1010101)
=11111111－1010101=10101010。
有了以上定点负整数补码，反码的定义，我们就很容易地证明，对于任一定点负整数，其补码等于其反码末位加1。
由（2）式，[X]反=(2n－1)＋X，得：
X=[X]反－2n＋1
将其代入（1）式，有
[X]补=2n＋X
=2n＋[X]反－2n＋1
=[X]反＋1（A）
根据以上推导，命题对于定点负整数是成立的。
二、对于定点负小数
（一）、补码的定义[2]如下：
[X]补=2＋XMOD(2)（3）
从定义知，一个n位二进制定点负小数，求其补码时，用2为模数加上该负数即可。
例如：已知n=8，X=－0.1010101，则
[X]补=2＋X=2＋(－0.1010101)
=10－0.1010101
=10.0000000－0.10101011
=1.0101011
(说明：2的二进制为10，写成小数即10.000000[3])
（二）、反码的定义[2]如下：
[X]反=2－2－(n－1)＋X[MOD(2－2－(n－1)]（4）
从定义知，一个n位定点负小数，求其反码时，用2－2－(n－1)）为模数加上该负数即可。
例如：已知n=8,X=－0.1010101，则
[X]反=2－2－(n－1)＋X
=2－2－7＋(－0.1010101)
=10－0.0000001－0.1010101
=1.1111111－0.1010101
=1.0101010。
(说明：2－7的二进制为0.0000001，简记为：2－7的二进制为小数点后第7位为1，其余位为0。（小数点后第7位即为8位二进制负小数的最末最右的一位)[3]
同理，有了以上定点负小数补码，反码的定义，我们也能很容易地证明，对于任一定点负小数[4]，其补码等于其反码末位加1。
由（4）式，[X]反=2－2－(n－1)＋X，得：
X=[X]反－2＋2－(n－1)
将其代入（3）式，有
[X]补=2＋X
=2＋[X]反－2＋2－(n－1)
=[X]反＋2－(n－1)（B）
上式中，2－(n－1)的二进制即为小数点后第n－1位为1，其余位为0，小数点后第n－1位为1，即n位定点小数最右最末的一位为1[4]。因此上式：[X]补=[X]反＋2－(n－1)，也就是X的补码等于其反码与末位加1之和）
根据以上推导，命题对于定点负小数同样是成立的。
综合（A）式和（B）式，可得我们要推导证明的命题成立。
[参考文献]
[1]俸远祯.计算机组成原理与汇编语言程序设计[M].北京：中央广播电视大学出版社，2001：3.
[2]李明慧.计算机组成原理[M].北京：中央广播电视大学出版社，1997：10.
[3]白中英，韩兆轩.计算机组成原理教程[M].北京：科学出版社，1988.
[4]侯炳辉.计算机原理[M].北京：经济科学出版社，2000.
[作者简介]叶嘉，女，广西广播电视大学理工学院讲师。黄珍生，男，广西民族学院计算机与信息科学学院讲师，信息管理与信息系统教研室主任。
