什么是图像数字化的采样频率？ 图像数字化

什么是图像数字化的采样频率？

这是我还没有完全搞清的问题，本来想在搞清楚以后再写。但看到李济科在网上发的两篇博文“数字成像基础理论学习笔记1−−采样”，“ 数字成像基础理论学习笔记2−−再议采样”，我改变了主意，觉得现在就参与讨论可能更有益。

第一点，对射线图像采样不是对x和γ射线信号采样。因为光信号频率非常高（f≥4X10的14次方），任何仪器都没有如此高的釆样频率，这一点李先生说得是对的。

对光信号采样是把光由模拟信号变为数字信号，这不是我们要做的事，我们要做的是把射线透照产生的模拟图像变为数字图像，两者不是一码事。所以不应该对光信号谈采样定理。

第二点，我们对超声波信号采样比较了解，但我们对射线图像采样不太了解。超声波信号称为时域信号，对其采样称为时序采样，而对射线图像的采样称为空间采样，空间采样与时序采样也有所不同。

第三点，空间采样与时序采样都是模拟信号数字化，所以肯定要遵循采样定理。即空间采样也有奈奎斯特极限问题，采样频率至少要大于图像的空间频率的两倍。

第四点，什么是图像的空间频率？

为便于说清，请先看一下时域信号的频率构成，我在《衍射时差法（TOFD）超声检测》教材中写过一段文字（这段文字比较长，也有点难懂，我附在后面，有兴趣的人可以看一下），中心意思包含以下几点：

1、正弦波时域信号是单一频率信号；

2、正弦波以外的任何波型的时域信号都不是单一频率信号；

3、任何波型都可以通过不同频率正弦波叠加得到；

4、超声脉冲信号不是正弦波，所以它的频率不是单一的，通过不同频率正弦波叠加可以得到超声波信号。

上述四条是可以从时域推广到空域的：

1、正弦波图像信号是单一空间频率信号；

2、正弦波图像信号以外的任何空间图像的都不是单一空间频率的图像信号；

3、任何空间图像都可以通过不同频率正弦波图像信号叠加得到；

4、射线底片图像不是正弦波图像，所以它的空间频率不是单一的，把不同频率的正弦波图像叠加可以得到射线底片图像。

第五点，补充说明第四点提到的 “正弦波图像信号”。

所谓正弦波图像信号就是信号幅度（灰度）按照正弦规律变化的信号，见图1。

第六点，任何射线底片图像都有一定的空间频率带宽，其空间频率分布就是该图像的频谱。就像我们用傅里叶变换求出超声信号的频谱一样，我们可以用一些数学物理方法求出射线底片图像的频谱，例如通过扫描得到图像的维纳频谱。

第七点，如果知道某一射线底片图像的频谱，就知道对其进行数字化需要多高的采样频率了。

第八点，总结

图像数字化采样频率肯定与光信号频率无关！

图像数字化采样频率与图像的空间频谱有关。

第九点，问题

图像数字化采样频率与像素尺寸有关吗？好像无关。

图像的空间频谱与射线能量和曝光量有关吗？好像有关。

如信号表示为时间的函数，该信号称为时域信号，以时间为横坐标，信号幅值为纵坐标，一个正弦波信号在时域坐标的图形如图2.7（a）所示。

如信号表示为频率的函数，该信号称为频域信号，以频率为横坐标，信号幅值为纵坐标，正弦波信号在频域坐标的图形如图2.7（b）所示。

对简谐信号（正弦波或余弦波），其时域和频域的对应关系如下式：

（或 x（t）=Asin（ω0t+φ） ）（2-1）

上式表明，时域里一条正弦波曲线的简谐信号，在频域中对应一条谱线，即正弦信号的频率是单一的，其频谱仅仅是频域中相应f0频点上的一个尖峰信号。

按照傅里叶变换理论：任何时域信号，都可以表示为不同频率的正弦波信号的叠加。例如一个矩形波，按傅里叶级数展开的数学表达式：

该数学式表明，矩形波包含多个频率分量。矩形波可通过不同频率的正弦波多次叠加得到。用正弦波叠加矩形波的情况见图2.8，取公式前三项叠加的结果如图2.8（a），取前六项叠加的结果如图2.8（b）。由图可以看出，叠加的高频谐波用的越多，波形越接近矩形波。六项叠加后的形状已经非常接近矩形了。

所有参与叠加的不同谐波的频率共同构成矩形波的频谱，每一个谐波频率就是矩形波的一个频率分量。由公式可以看到，矩形波的展开式是一个无穷级数，因此理想矩形波的高频分量是无穷的。

除了简谐信号（正弦波或余弦波）以外，其他任何波形的频率都不是单一的。超声脉冲不是正弦波，因此其频率也不是单一的，其中包含有多个频率分量。我们同样可以用不同频率正弦波的多次叠加得到超声脉冲波形。利用计算机通过一种快速傅立叶变换（FFT）的算法，可以方便地求出一个超声脉冲的频谱。

图2.9是一个探头发出的超声脉冲波形及其按FFT算法得到的频谱。频谱中曲线覆盖的频率范围就是探头包含的频率分量。在频率范围的左端和右端，幅度响应很小，实际检测中该部分信号所起的作用也很小，所以可将其忽略。所谓探头带宽只考虑幅度下降到50%的频率范围，该范围边界分别称为-6dB上限截止频率和-6dB下限截止频率，上下限截止频率之间范围称为-6dB带宽。图中探头的中心频率为4.5MHz；上下限截止频率分别是6.9MHz和1.8MHz。-6d B带宽为5.1MHz。

了解信号带宽以后，我们再来考虑超声信号采样不失真的条件，就明白不能按标称频率确定Nyquist极限。对5MHz的超声信号，用10MHz的采样频率是不够的。由于超声脉冲有一定带宽，采样频率至少必须大于-6dB上限截止频率的两倍，才可保证信号不失真。以下图为例，由于上限截止频率为6.9MHz，满足Nyquist极限的采样频率应为13.8MHz。”

附2：灰度按正弦规律变化的光栅

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