因式分解的十二种方法 因式分解的方法

把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x³-2x²-x
x³-2x²-x=x(x²-2x-1)
2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互 逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a²+4ab+4b²
解：a²+4ab+4b²=（a+2b）²
3、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m²+5n-mn-5m
解：m²+5n-mn-5m=m²-5m-mn+5n
= (m²-5m)+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、十字相乘法对于mx²+px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x²-19x-6
分析：1×7=7,2×(-3)=-6
1×2+7×(-3)=-19
解：7x²-19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x²+6x-40
解x²+6x-40=x²+6x+(9) -(9 ) -40
=(x+ 3)²-(7 )²
=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]
=(x+10)(x-4)
6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x⁴–x³-6x²-x+2(也叫相反式，在这里以二次项系数为中心对称项的系数是相等的，如四次项与常数项对称，系数相等，解法也是把对称项结合在一起)
解：2x⁴–x³-6x²-x+2=2(x⁴+1)-x(x²+1)-6x²
=x²{2[x²+()²]-(x+)-6}
令y=x+,

x²{2[x²+()²]-(x+)-6}
= x²[2(y²-2)-y-6]
= x²(2y²-y-10)
=x²(y+2)(2y-5)
=x²(x++2)(2x+-5)
=(x²+2x+1)(2x²-5x+2)
=(x+1)²(2x-1)(x-2)
8、求根法令多项式f(x)=0,求出其根为x₁,x₂,x₃,……x_n,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)……(x-x_n)（一般情况下是试根法，并且一般试-3,-2,-1,0,1,2,3这些数是不是方程的根）
例8、分解因式2x⁴+7x³-2x²-13x+6
解：令f(x)=2x⁴+7x³-2x²-13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为，-3，-2，1 ,
则2x +7x -2x-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、图象法（这种方法在以后学函数的时候会用到。现在只是作为了解内容，它和第八种方法是类似的）
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图象，找到函数图象与X轴的交点x₁,x₂,x₃,……x_n，则多项式可因式分解为

f(x)= f(x)=(x-x₁)(x-x₂)(x-x₃)……(x-x_n)
例9、因式分解x³+2x²-5x-6
解：令y=x³+2x²-5x-6
作出其图象，可知与x轴交点为-3，-1，2
则x³+2x²-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、主元法先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=a²(b-c)-a(b²-c²)+bc(b-c)
=(b-c) [a²-a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、利用特殊值法将2或10（或其它数）代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。例11、分解因式x³+9x²+23x+15
解：令x=2，则x³+9x²+23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x³+9x²+23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系数法首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x⁴–x³-5x²-6x-4
如果已知道这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x⁴–x³-5x²-6x-4=(x²+ax+b)(x²+cx+d)
= x⁴+(a+c)x³+(ac+b+d)x²+(ad+bc)x+bd

从而a+c=-1,ac+b+d=-5,ad+bc=-6,bd=-4

所以解得
则x⁴–x³-5x²-6x-4=(x²+x+1)(x²-2x-4)

来源：因式分解的十二种方法
http://www.hanlinyuan.org/show.asp?id=1225

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