爱华网梯形数值积分，通过已知参数x,y按dim维使用梯形公式进行积分
例1 计算int(sin(x),0,pi)
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- >>x=0:pi/100:2*pi;
- >>y=sin(x);
- >>z=trapz(x,y)%或者说使用z =pi/100*trapz(y)
- z =
- 1.0300e-017
- >>z = pi/100*trapz(y)
自适应simpson公式数值积分，适用于精度要求低，被积函数平滑性较差的数值积分
注意事项：
1.被积函数fun必须是函数句柄
2.积分限[a,b]必须是有限的，因此不能为inf
3.p1为其他需要传递的参数，一般是数值
可能警告：
1.'Minimum step size reached'
意味着子区间的长度与计算机舍入误差相当，无法继续计算了。原因可能是有不可积的奇点
2.'Maximum function count exceeded'
意味着积分递归计算超过了10000次。原因可能是有不可积的奇点
3.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'
意味着在积分计算时，区间内出现了浮点数溢出或者被零除。
例2 计算积分1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]
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- >>F = @(x,n)1./(x.^3-2*x-n);
- >>Q = quad(@(x)F(x,5),0,2)%或者使用quad(F,0,2,[],[],5)效果是一样的，只是前者使用的函数嵌套
- Q =
- -0.4605
- >>quad(F,0,2,[],[],5)
- ans =
- -0.4605
自适应Lobatto数值积分，适用于精度要求高，被积函数曲线比较平滑的数值积分
注意事项：
同quad
可能警告：
同quad
例3 计算积分1/(x^3-2*x-p)，其中参数p=5，积分区间为[0,2]
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- >>F=@(x,p)1./(x.^3-2*x-p);
- >>Q = quadl(F,0,2,[],[],5)%或者Q =quadl(@(x)F(x,5),0,2)
- Q =
- -0.4605
自适应Gauss-Kronrod数值积分，适用于高精度和震荡数值积分，支持无穷区间，并且能够处理端点包含奇点的情况，同时还支持沿着不连续函数积分，复数域线性路径的围道积分法
注意事项：
1.积分限[a,b]可以是[-inf,inf]，但必须快速衰减
2.被积函数在端点可以有奇点，如果区间内部有奇点，将以奇点区间划分成多个，也就是说奇点只能出现在端点上
3.被积函数可以剧烈震荡
4.可以计算不连续积分，此时需要用到'Waypoints'参数，'Waypoints'中的点必须严格单调
5.可以计算围道积分，此时需要用到'Waypoints'参数，并且为复数，各点之间使用直线连接
6.param,val为函数的其它控制参数，比如上面的'waypoints'就是，具体看帮助
出现错误：
1.'Reached the limit on the maximum number of intervals inuse'
2.'Infinite or Not-a-Number function value encountered'
计算有奇点积分int(exp(x)*log(x),0,1)
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>>F=@(x)exp(x).*log(x);%奇点必须在端点上，否则请先进行区间划分
>>Q =quadgk(F,0,1)
Q =
-1.3179
五、[Q,fcnt] =quadv(fun,a,b,tol,trace)
矢量化自适应simpson数值积分
注意事项：
1.该函将quad函数矢量化了，就是一次可以计算多个积分
2.所有的要求完全与quad相同
计算下面积分，分别计算n=1,2...,5时的5个积分值，被积函数1/(n+x)，积分限为[0,1]
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>>for k =1:5,Qs(k) = quadv(@(x)1/(k+x),0,1);end;Qs
Qs =
0.69310.40550.28770.22310.1823
>>F=@(x,n)1./((1:n)+x);%定义被积函数
>>quadv(@(x)F(x,5),0,1)%我们可以完全使用quadv函数替换上面循环语句的，建议使用后者
ans =
0.69310.40550.28770.22310.1823
六、q =dblquad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,tol,method)
矩形区域二重数值积分，一般区域二重积分参见NIT(数值积分工具箱)的quad2dggen函数
七、q=triplequad(fun,xmin,xmax,ymin,ymax,zmin,zmax,tol,method)
长方体区域三重数值积分，注意此时没有一般区域的三重积分
下面总结下：
(1)quad：采用自适应变步长simpson方法，速度和精度都是最差的，建议不要使用
(2)quad8：使用8阶Newton-Cotes算法，精度和速度均优于quad，但在目前版本下已被取消
(3)quadl：采用lobbato算法，精度和速度均较好，建议全部使用该函数
(4)quadg：NIT(数值积分)工具箱函数，效率最高，但该工具箱需要另外下载
(5)quadv：quad的矢量化函数，可以同时计算多个积分
(6)quadgk：很有用的函数，功能在Matlab中最强大
(7)quad2dggen：一般区域二重积分，效率很好，需要NIT支持
(8)dblquad：长方形区域二重积分
(9)triplequadL：长方体区域三重积分
1 被积函数带参数的积分
题目:
函数为 y=sin(k*x)*x^2，对x积分，
积分区域为【1，5】，目的是要画 k 和 y 的图形.
方法一
%带参数积分
clear all
k=linspace(1,5);
for i=1:length(k)
kk=k(i);
fun=inline(subs('sin(k*x)*x^2','k',kk));
y(i)=quadl(fun,1,5);
end
hold on;
plot(k,y,'r')
方法二 利用匿名函数+循环
f=@(k) quad(@(x)sin(k.*x).*x.^2,0,5)
kk=linspace(0,5);
y=zeros(size(kk));
for ii=1:length(kk)
y(ii)=f(kk(ii));
end
plot(kk,y)
方法三 匿名函数+arrayfun函数
plot(linspace(0,5),arrayfun(@(k) quad(@(x)sin(k.*x).*x.^2,0,5),linspace(0,5)))
隆重推介Matlab工具箱的Mupad解,超简洁,我近来暑假刚好研究这个,所以写一下这个的解法,前面博文有这个的教程~~
稍微一改就是一道二重积分问题
题目:
函数为 H=sin(k*x)*y^2，对x积分再对y积分，
积分区域都是【1，5 】，目的是要画 k 和 H 的图形
