伴随矩阵秩r(A*)与r(A)的关系 伴随矩阵的秩

即r(A)=n===>r(A*)=n  r(A)=n-1===>r(A*)=1  r(A)<n-1===>r(A*)=0顺便求证AB＝0  r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n

利用等式A·A* = |A|·E_n （n阶单位矩阵）即可得第一个关系。当r(A)＜n，有|A|=0，

于是：若r(A)小于n-1，

则每个n-1阶子阵的行列式为0，从而由A*的定义知A*=0； 若r(A)等于n-1，

则由A·A* = |A|·E_n知，A·A* = 0。

但是由不等式 r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n 知， 0 = r(A·A*) ≥ r(A) + r(A*) - n = n-1 + r(A*) -n = r(A*) -1 即r(A*) ≤ 1。但是A至少有一个n-1阶子阵的行列式不为0，于是由A*的定义知r(A*) = 1回答的补充：不等式r(AB) ≥ r(A) + r(B) - n 就是参考资料的内容，摘录证明如下：首先注意一个矩阵的秩在它乘以一个可逆矩阵时不变，即：r(AB) = r(A)，其中B是可逆矩阵。这由秩的定义（用行向量的线性相关性）可以得到。于是考虑以下分块矩阵XA 0E B其中E是n阶单位矩阵。显然，仍由行向量的线性相关性可得r(X) ≥ r(A) + r(B)。于是只须证r(X) = r(AB) + n。为此，考虑分块矩阵YE -A0 E和分块矩阵ZE -B0 E直接计算可知W = Y·X·Z具有以下分块表示0 -ABE 0当然Y和Z均可逆（行列式都是1），于是r(X) = r(W)。后者显然是 n + r(-AB)，当然，r(-AB) = r(AB)，得证。

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