数学建模——TOPSIS法 数学建模的方法

TOPSIS法：

通常用于对一个拥有多个指标的对象进行综合分析评价，其核心思想是将N个影响评价结果的指标看成N条坐标轴，由此可以构造出一个N维空间，这样可以将每个待评价的对象依照其各项指标的数据在N维空间中描绘出唯一的一个坐标点。再针对各项指标从所有待评价对象中选出该指标的最优值和最差值，并用其可以在N维空间中描绘出两个点分别是最优点和最差点。依次求出各个待评价对象的坐标点分别到最优点和最差点的距离和，并运用公式，得到评价参考值B，若B值越小则代表评价结果越高。

实例演示：煤矿厂的煤尘会对人的呼吸系统造成危害，现在测得5个煤矿厂的粉尘浓度、游离二氧化硅含量和煤肺的患病率，请依据这三项指标给出这5个煤矿厂的安全程度综合排序，测量数据见下表：

步骤1：统一各项评价指标的单调性，在此采用高优指标即数值越高越好，通常对于反向单调的指标可采用倒数法，即,而对于居中型指标可采用公式进行转换。以下为经过指标转换后的各项参数值：

步骤2：对各项指标进行归一化处理，运用公式，其中表示第

i个对象在第j个指标上的取值，由此可以得到归一化矩阵。

步骤3：进行加权处理，即依据各项指标的重要程度分配权值，在此采用统一的权值，即令，得到各项指标加权矩阵值，即。

步骤4：确定最优方案和最差方案，从矩阵Z中选出各项指标的参数值的最大值和最小值，可以得到最优方案=(0.9648,0.5879,0.9907)和最差方案=(0.0492,0.2879,0.0342)。

步骤5：分别计算各个评价对象与最优方案及最差方案的距离与，其中，，可得到=(1.2558,1.2953,1.1844,1.1941,0.0000)和=(0.1500,0.0071,0.2913,0.1306,1.3577)

步骤6：计算综合评价值，运用公式，其中B值越大则代表该对象的综合评价越好，可以得到结论如下

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