爱华网第五章 平面向量总结
二. 知识分析：
1. 向量的有关概念
定义既有大小又有方向的量叫做向量（自由向量）
记作：
或
表示：
有向线段
向量长度（模）
单位向量：
（与同向的）
相等向量：
共线向量：
若，则与共线（平行）（唯一）
相反向量：
的相反向量
加法：
减法：
实数与向量的积：
数量积：
向量垂直：
非空向量
2. 向量的加法与减法
（1）加法法则：三角形法则与平行四边形法则
三角形法则：首尾相接 平行四边形法则：起点相同
（2）运算性质：，，
（3）减法法则：是起点O连接终点指向被减数的向量
（4）常用结论：
；
；
3. 实数与向量的积
（1）定义： ① 时，与同向，② 时，与反向，③ 时，。
（2）运算律：①
② ③ ④
（3）有且只有一个实数，使
注：此条件应用非常广泛，是证明三点共线的重要依据。
（4）平面向量的基本定理
为一组基底，平面内任一向量，有且只有一对实数，使，
（5）几个重要结论
① 已知，，C是A、B中点，则
② 以原点为起点的三个向量的终点A、B、C在同一条直线上的充要条件是，其中，
4. 线段的定比分点
（1）定义：设是直线上的两点，点P是上不同于的任意一点，则存在唯一实数，使，叫做P分所成的比
（2）设、、且
则
时，P为线段的中点，则
（3）的重心坐标公式
、、、重心
则（坐标表示）或（向量表示）
常见题型：① 求有向线段的比；② 证明三点共线；③ 求的角平分线长；④ 求的内心
5. 平面向量的数量积
（1）两平面向量的夹角
，，
范围：
（2）非零向量与垂直：
（3）与的数量积（内积）
（非零向量）① 定义：
② 的几何意义：<1> 等于的长度与在方向上的投影的乘积
<2> 在上的投影为
（4）的性质，设，是两个非零向量，是单位向量
①
②
③ 当与同向时，；当与反向时，
④ （实现模与向量内积的相互转化）
两点间距离公式：若、，则
⑤ （与的夹角）
⑥ ；
（5）的运算律
①
②
③
注：
（a）不满足结合律
（b）数量积的多项式乘积类似实数多项式的乘积
6. 平移
（1）图形平移的定义：设F是坐标平面内的一个图形，将F上所有点按同一方向，移动同样长度，得到图形，这一过程叫图形的平移。
（2）平移公式
设，按平移，对应点
则有 或
理解：公式中反映的平移可以分解为两步进行。
① 沿x轴正方向平移h个单位
② 再沿y轴正方向平移k个单位
（3）点的平移关系
① 点按平移得
② 点按平移得，则
③ 点A按平移，得，则
（4）函数、曲线的平移关系
① 图形F：按平移，得图形
；
② 图形F：按平移，得图形
；则
③ 图形F按平移得
则F：
【典型例题】
[例1] 设两非零向量和不共线
（1）若，，，求证A、B、D三点共线；
（2）试确定，使和共线。
解：（1）
故，所以A、B、D三点共线
（2）和共线，则存在，使
即，又由与为不共线向量，则
且，解得
[例2] 已知，
（1）计算和；
（2）当为何值时，与共线。
解：（1）由
则，
（2）由，
此时与反向共线
[例3] 已知向量，
（1）若与共线，求x，y的值；
（2）若，求x，y的值。
解：（1）由
（2）
[例4] 已知A（4，5），B（1，2），C（12，1），D（11，6），试求AC与BD交点的坐标。
解：设AC与BD相交于M点，由A、M、C三点共线，设，则
同理
故
由（2）×2+（1）得
故，即AC与BD相交于M（6，4）
[例5] 在中，已知，，，过A作AD交BC于D，若AD把的面积分成两部分，求D点坐标。
解：或
由定比分点公式，有，
故，，即
或，，即
【模拟试题】
一. 选择题
1. 已知，，又为第三象限，则的值为（ ）
A. B. C. D. 0
2. ，，，且，则（ ）
A. 5 B. C. D. 1
3. ，，三点共线，则（ ）
A. B. C. D. 13
4. 已知，，若线段与y轴交于点M，则M分所成的比为（ ）
A. B. C. 2 D. 3
5. 已知，，且，则锐角等于（ ）
A. B. C. D. 或
6. 已知关于点的对称点是，则点到原点的距离是（ ）
A. 4 B. C. D.
二. 填空题
7. 的重心是G，CA中点为M，且A、M、G三点坐标分别为（6，6），（7，4），，则 。
8. 平行四边形ABCD中，已知顶点，B（3，1），对角线AC与BD交于点M（2，2），则顶点C、D坐标分别为 和 。
9. 已知A（2，3），B（1，4），且，，则 。
10. 已知，，，且，则 。
11. 已知，，三点共线，则 。
12. 已知，，若线段与轴交于点M，则M分所成的比为 。
三. 解答题
13. 在，已知重心G（1，1），BC的中点，AC的中点E（2，0），求各顶点坐标。
【试题答案】
一.
1. A 提示：，又为第三象限，故
2. D 提示：，，
3. C 提示：由
4. C 提示：设，由
5. B 提示：，又，则
6. D 提示：由，，
二.
7. 提示：先求C坐标，，，再求，则
8. C（3，5）；D（1，3） 提示：由中点公式
9. 或 提示：，又，则，
10. 1 提示：，，
11. 提示：由
12. 2 提示：设，由
三.
13. 解：重心G分所成的比是2，设A点坐标是，则
即A（3，5）
又由E是AC中点，故C坐标
由D是BC中点，故B点坐标为
