爱华网2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)
数 学(文史类)
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目的要求的．
1．若全集M?{1,2,3,4,5}，N?{2,4}，则eMN?
（A）? （B）{1,3,5} （C）{2,4} 答案：B
解析：∵M?{1,2,3,4,5}，则eMN?{1,3,5}，选B．
2．有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下： [11.5，15.5) 2 [15.5，19.5) 4 [19.5，23.5) 9 [23.5，27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5，39.5) 7 [39.5，43.5)
根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占
（A）
2 11
（D）{1,2,3,4,5}
3
（D）
23
（B）
1 3
（C）
12
答案：B
解析：大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占
221
?，选B． 663
3．圆x2?y2?4x?6y?0的圆心坐标是
（A）(2，3) （B）(－2，3) （C）(－2，－3) 答案：D
解析：圆方程化为(x?2)2?(y?3)2?13，圆心(2，－3)，选D． 4．函数y?()x?1的图象关于直线y=x对称的图象像大致是
12
（D）(2，－3)
答案：A
12
解析：y?()x?1图象过点(0,2)，且单调递减，故它关于直线y=x对称的图象过点(2,0)且单调递减。 5．“x＝3”是“x2＝9”的
（A）充分而不必要的条件 （B）必要而不充分的条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要的条件 答案：A
解析：若x＝3，则x 2＝9，反之，若x 2＝9，则x??3，选A． 6．l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是
（A）l1?l2，l2?l3?l1//l3 （B）l1?l2，l2//l3?l1?l3 （C）l2//l3//l3?l1，l2，l3共面 （D）l1，l2，l3共点?l1，l2，l3
共面
答案：B
解析：由l1?l2，l2//l3，根据异面直线所成角知l1与l3所成角为90°，选B．
7．如图，正六边形ABCDEF中，BA?CD?EF?
（A）0 （B）BE （C）AD （D）CF 答案：D
解析：BA?CD?EF?CD?DE?EF?CF，选D．
8．在△ABC中，sin2A?sin2B?sin2C?sinBsinC，则A的取值范围是
（A）(0,]
6
?
（B）[,?)
6
?
（C）(0,]
3
?
（D）[,?)
3
?
答案：C
b2?c2?a21
解析：由sinA?sinB?sinC?sinBsinC得a?b?c?bc，即?，
2bc2
1?
∴cosA?，∵0?A??，故0?A?，选C．
23
2
2
2
2
2
2
9．数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1 =3Sn（n ≥1），则a6=
（A）3 × 44 （B）3 × 44+1 （C）44 （D）44+1 答案：A 解析：由an+1 =3Sn，得an =3Sn－1（n ≥ 2），相减得an+1－an =3(Sn－Sn－1)= 3an，则an+1=4an（n ≥ 2），
44
a1=1，a2=3，则a6= a2·4=3×4，选A．
10．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量
为6吨的乙型卡车．某天需运往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次．派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润为 （A）4650元 （B）4700元 （C）4900元 （D）5000元 答案：C
54x053?y，由解析：设派用甲型卡车x（辆），乙型卡车y（辆），获得的利润为u（元），u?0
?x?y?12,
?2x?y?19,?
题意，x、y满足关系式??10x?6y?72,作出相应的平面区域，u?450x?350y?50(9x?7y)在由
?0?x?8,???0?y?7,
?x?y?12,
确定的交点(7,5)处取得最大值4900元，选C． ?
?2x?y?19
11．在抛物线y?x2?ax?5(a?0)上取横坐标为x1??4，x2?2的两点，过这两点引一条割线，有
平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2?5y2?36相切，则抛物线顶点的坐标为 （A）(?2,?9) （B）(0,?5) （C）(2,?9) （D）(1,?6) 答案：A
解析：令抛物线上横坐标为x1??4、x2?2的点为A(?4,11?4a)、B(2,2a?1)，则kAB?a?2，由y??2x?a?a?2，故切点为(?1,?4?a)，切线方程为(a?2)x?y?6?
0，该直线又和圆相切，则
d?
?，解得a?4或a?0（舍去），则抛物线为y?x2?4x?5?(x?2)2?9，定点坐
标为(?2,?9)，选A．
12．在集合{1,2,3,4,5}中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量??(a,b)，从所
有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四
边形的个数为n，其中面积等于2的平行四边形的个数为m，则（A）
2
15
m? n
（B）
15
（C）
4 15
（D）
13
答案：B
解析：∵以原点为起点的向量??(a,b)有(2,1)、(2,3)、(2,5)、(4,1)、(4,3)、(4,5)共6个，可作平行四边形的个数n?C62?15个，结合图形进行计算，其中由(2,1)(4,1)、
(2,1)(4,3)、(2,3)(4,5)确定的平行四边形面积为2，共有3个，则
m31
??，选B． n155
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13．(x?1)9的展开式中x3的系数是_________．（用数字作答）
答案：84
解析：∵(x?1)9的展开式中x3的系数是C96?C93?84．
x2y2
14．双曲线??1上一点P到双曲线右焦点的距离是4，那么P到左准线的距离是____．
6436
答案：16 答案：16
54
2?6416
准线的距离等于??16．
105
解析：离心率e?，设P到右准线的距离是d，则
4516
?，则d?，则P到左d45
15．如图，半径为4的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表
面积与该圆柱的侧面积之差是_________． 答案：32π 解析：如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为α，圆柱侧面积S?2??4sin??2?4cos?＝32?sin2?，当??
?
4
时，S取最大值32?，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为32?．
16．函数f(x)的定义域为A，若x1,x2?A且f(x1)?f(x2)时总有x1?x2，则称f(x)为单函数．例如，函数f(x)=2x+1(x?R)是单函数．下列命题： ①函数f(x)?x2（x?R）是单函数；
②指数函数f(x)?2x（x?R）是单函数；
③若f(x)为单函数，x1,x2?A且x1?x2，则f(x1)?f(x2)； ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数． 其中的真命题是_________．（写出所有真命题的编号） 答案：②③④
解析：对于①，若f(x1)?f(x2)，则x1??x2，不满足；②是单函数；命题③实际上是单函数命题的逆否命题，故为真命题；根据定义，命题④满足条件．
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题共l2分）
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租车不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙人互相独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为、；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为、；两人租车时间都不会超过四小时．
（Ⅰ）分别求出甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率； （Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率． 本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概念及相关概率计算，考查运用所学知识和方法解决实际问题的能力．
解：（Ⅰ）分别记甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车为事件A、B，则
111111P(A)?1???，P(A)?1???．
424244
1
4
12
12
14
答：甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为、． （Ⅱ）记甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元为事件C，则
1111111111113P(C)?(?)?(???)?(?????)?．
4244222442444
1
414
答：甲、乙两人所付的租车费用之和小于6元的概率为 18．（本小题共l2分）
已知函数f(x)?sin(x?
7?3?
)?cos(x?)，x?R． 44
3
4
（Ⅰ）求f(x)的最小正周期和最小值；
（Ⅱ）已知cos(???)?，cos(???)??，0?????
45
45
?
2
．求证：[f(?)]2?2?0．
本小题考查三角函数的性质，同角三角函数的关系，两角和的正、余弦公式、诱导公式等基础知识和基本运算能力，函数与方程、化归与转化等数学思想．
（Ⅰ）解析：f(x)?sinxcos
7?7?3?3?
?cosxsin?cosxcos?
sinxsin
4444
?xx?2sin(x?)，∴f(x)的最小正周期T?2?，最小值f(x)min??2． 4
44
（Ⅱ）证明：由已知得cos?cos??sin?sin??，cos?cos??sin?sin???
55
?
两式相加得2cos?cos??0，∵0?????∴[f(?)]2?2?4sin2
?
4
?2?0．
?
2
，∴cos??0，则??
?
2
．
19．（本小题共l2分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．
（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1； （Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值；
本小题主要考查直三棱柱的性质、线面关系、二面角等基本知识，并考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查应用向量知识解决问题的能力．
解法一：
