爱华网几何：边角边公理的应用及角边角公理
［学习目标］
代数：熟练应用整数指数幂的性质进行整数指数幂的运算。
几何：应用边角边公理，角边角公理证明三角形全等，进而证明角相等，边相等。
二. 重点、难点：
重点：
代数：整数指数幂运算
几何：边角边，角边角公理的应用
难点：
代数：整数指数幂运算；符号问题
几何：寻找条件；证明格式；对应问题
三. 主要知识点
代数：
1. 分式乘方运算—
2. 正整数指数幂的运算 整数指数幂
3. 易出现错误的地方：
（1）符号问题
（2）运算性质用错
4. 解决办法：
（1）符号问题：
先确定各个式子的符号，然后确定出整个式子的符号，再然后进行值运算，最后把符号与值合在一起得出最后的结果。
（2）运算性质用错：牢记各条性质；计算每步前先想性质。
几何：
1. 边角边公理（SAS）的应用
2. 角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（ASA）。
3. 易出现的问题：
对应出错
4. 解决办法：
首先确定顶点间的对应，整个做题过程中保证顶点对应即不会犯错。
【典型例题】
例1. 计算
思路分析：
①确定整个式子的符号。
②计算值。
③把符号与值合在一起得最后结果。
解：①整个式子的符号为“－”
②
③∴原式
例2. 若，求
（1） （2）
解：（1）
（2）
小结：公式活用。
例3. 计算：
解：原式
小结：公式、性质混合应用
例4. 已知：如图1，AB=AC，AD平分∠CAB，求证：∠B=∠C
图1
分析：通过证明△ADB≌△ADC，可证明∠B=∠C。
证明：在△ADB和△ADC中，
∴△ADB≌△ADC（SAS）
∴∠B=∠C（三角形全等，对应角相等）
小结：注意对应问题。
例5. 如图2，已知AB∥CD，AE∥CF，AB=CD，求证：BF=DE。
图2
分析：由AB∥CD可得∠ABE=∠CDF，由AE∥CF可得∠AEF=∠CFE，进而可得∠BAE=∠DCF。
又AB=CD，可通过角边角证明△ABE≌△CDF，进而证明BE=DF，即BF=DE。
证明：∵AB∥CD
∴∠ABE=∠CDF（两直线平行，内错角相等）
∵AE∥CF
∴∠AEF=∠CFE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠AEF=∠ABE+∠BAE（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）
∠CFE=∠CDF+∠DCF（同上）
∴∠BAE=∠DCF
在△ABE和△CDF中，
∴△ABE≌△CDF（ASA）
∴BE=DF（三角形全等，对应边相等）
又∵BF=BE+EF
DE=DF+EF
∴BF=DE
例6. 如图3，已知：AC、BD互相平分于点O，EF过点O且交AB于E，交CD于F，求证：OE=OF。
图3
分析：先证△OAB≌△OCD，再证△OAE≌△OCF
证明：在△OAB和△OCD中，
∴△OAB≌△OCD（SAS）
∴∠A=∠C（三角形全等对应角相等）
在△OAE和△OCF中，
∴△OAE≌△OCF（ASA）
∴OE=OF（三角形全等对应边相等）
小结：这是一道角边角公理，边角边公理混合使用的题，难度较大。
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1. 计算
（1）
（2）
（3）
（4）
2. 证明题
（1）如图1：B、E、C、F在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BE=CF，求证：AB=DE。
图1
（2）如图2：已知：M是△ABC的BC边上的一点，BE∥CF，且BE=CF，求证：AM是△ABC的中线。
图2
【试题答案】
1. 计算：
（1） （2）
（3） （4）
2. 证明题：
（1）证明：∵AB∥DE
∴∠AEC=∠DEF（两直线平行，同位角相等）
∵AC∥DF
∴∠ACB=∠DFE（同上）
又BE=CF
BC=BE+EC
FE=CF+EC
∴BC=FE
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）
∴AB=DE（三角形全等对应边相等）
（2）证明：∵BE∥CF
∴∠MBE=∠MCF（两直线平线，内错角相等）
∴∠BEM=∠CFM（同上）
在△BEM和△CFM中
∴△BEM≌△CFM（ASA）
∴BM=CM（三角形全等，对应边相等）
∴M是BC的中点（中点的定义）
∴AM是△ABC的中线（中线的定义）
