爱华网导数的概念
二. 教学重、难点：
1. 曲线的切线
2. 瞬时速度
3. 导数的概念
4. 导数的几何意义
【典型例题】
[例1] 求曲线在点（2，4）处的切线方程。
解：∵ ∴
∴
∴ 曲线在点（2，4）处切线方程为，即
[例2] 物体的运动方程是，其中的单位是米，的单位是秒，求物体在时的瞬时速度及物体在一段时间内相应的平均速度。
解：∵
∴ =
∴ ，即
∴
即在的一段时间内平均速度为。
∴
即
∴ 物体在时的瞬时速度是。
[例3] 利用导数定义求函数在处的导数。
解：
∴
∴
即 ∴ 函数在处的导数为
[例4] 利用导数定义求函数的导数，并判断在处是否可导？
解：当时，可使
则
当0时，同理可求
又 ∵
而
∴
∴ 在处不可导
[例5] 已知函数
（1）试确定的值，使在处连续，可导；
（2）求曲线在处的切线方程。
解：
（1）要使在处连续，则
，即
且
当时，即时，在处连续
若，则不存在。
故，则此时应有，在处才可导。
（2）由（1）知，=1，而
∴ 曲线在处的切线方程为，即
[例6] 已知函数，判断在处是否可导。
解：
∴ ∴ 不存在
即函数在处不可导。
[例7] 设函数在处可导，且，求。
解：
当时，
当时，
∴
=
[例8] 已知曲线上一点P（1，2），用导数定义求过点P的切线的倾斜角和方程。
解：①
② 求平均变化率
③ 取极限
∴
即切线的斜率 ∵ ∴
∵ 切线过点P（1，2），由直线方程的点斜式得即
∴ 过点P（1，2）的切线的倾斜角为，其方程为
[例9] 已知抛物线（），通过点（1，1），且在点（）处与直线相切，求的值。
解：由
因为函数在点（）处与直线相切
∴ ①
又函数过点（1，1），（）
∴ ②
③
由①②③得
[例10] 证明：如果在开区间（）内可导，那么在（）内连续。
证明：任取
∵
=
∴ 若在处可导，那么在处连续，由的任意性知，若在（）内可导，则在（）内连续
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 已知函数的图象上一点（1，）及邻近一点，则等于（ ）
A. 4 B. C. D.
2. 已知曲线上一点P（1，），过点P的切线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
3. 如果质点按规律运动，则在时的瞬时速度为（ ）
A. 3 B. 9 C. D. 27
4. 曲线在点P（4，2）处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
5. 抛物线上何处的切线与直线的夹角是（ ）
A. B. C.（1，1） D. 与
6. 过点P（）且与曲线在点M（1，1）处的切线平行的直线方程是（ ）
A. B.
C. D.
7. 函数的导数等于（ ）
A. B. C. D.
8. 设，则等于（ ）
A. B. C. D.
二. 解答题：
1. 已知函数，求。
2. 若一物体运动方程如下：，求此物体在和时的速度。
3. 若函数在处的导数为A，求。
【试题答案】
一.
1. C
解析：，
∴
2. B
解析：，∴ ，。
3. D
解析：∵
∴ ∴ =27
4. B
解析：
∴ 曲线在点P（4，2）处的切线方程为，即
5. D
解析：设切线斜率为，则，得或
又 ∵ ，令或，得或 ∴ 切点为与
6. B
解析：∵ ，∴ 所求直线的斜率为2
∴ 所求的直线方程为，即
7. A
解析：∵ ∴
8. C
二.
1. 解：∵
∴
∴
∴
∴
2. 解：当时，
∴
当时，
∴
∴ 物体在和时的瞬时速度分别是6和0。
3. 解：∵
∴ （用替换）
∴
