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分形图数学家曼德布罗特(B. B. Mandelbrot)经历了不平凡的潜心研究，于1975年出版了他的关于分形几何的专著《分形、机遇和维数》，标志着分形理论的诞生。
分形几何学的基本思想是：客观事物具有自相似的层次结构，局部与整体在形态、功能、信息、时间、空间等方面具有统计意义上的相似性，成为自相似性。自相似性是指局部是整体成比例缩小的性质。形象地说，就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时，无论放大倍数如何改变，看到的照片都是相似的，而从相片上无法判断所用的相机的倍数，即标度不变性或全息性。
例如，一棵参天大树与它自身上的树枝及树枝上的枝杈在形状上没什么大的区别，大树与树枝这种关系，在几何形状上称之为自相似关系;我们再拿来一片树叶，仔细观察一下叶脉，它们也具备这种性质;动物也不例外，一头牛身体中的一个细胞基因记录着这头牛的全部生长信息;还有高山的表面，您无论怎样放大其局部，它都如此粗糙不平等等。这些例子在我们的身边到处可见。
正如曼德尔布罗在《大自然的分形几何》一书中写道：“云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。”
