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结合代数
associative algebra
一种代数系统，类似于群、环、域，而更接近于环。结合代数的研究，早在19世纪50年代，W.R.哈密顿考察四元数、H.G.格拉斯曼引入向量乘法以及A.凯莱等人讨论矩阵代数之时就已开始，其目标是刻画各种类型的结合代数的结构和表示。
设是非空集,是域在集上定义有加法+和乘法两个运算,在[kg1]和[kg1]之间定义有数乘运算,即对于任意[kg1][kg1],有[kg1],且满足以下条件:①关于加法+和乘法作成结合环;②关于加法+及数乘运算构成域上的向量空间；③对任意[kg1][kg1]，、[kg1][kg1]有()=()=()，这种代数系统记作｛,+,,数乘｝并称为域 上结合代数，简称上代数或代数[kg1]。域上向量空间的维数也称为上代数的维数。
环的加法群是一个交换群，而代数的加法群是域[kg2]上的向量空间，后者较前者的结构要简单得多。例如，向量空间[kg1][kg2]必有基｛[kg1]，[kg1][kg1]｝，而任意[kg1][kg2][kg2][kg1]可惟一表成 [368-01]。于是只要知道[kg2][kg2]之间的乘法表:[368-02],便可以计算中任二元素[368-03],[368-04]的乘积[368-05][368-5]称为代数的构造常数。反之，通过规定向量空间的一组基元之间的乘法,可线性扩张成中的一个乘法。人们常利用这种方便定义新代数。
与环相类似，结合代数也有子代数、理想、同态、直积等概念。
例如，代数的理想，即指是向量空间的子空间，又是环的理想。与除环和单环相应的概念,是可除代数和单代数等。
仿照由实数来构造复数的方法，可用复数来构造新的数设是一切复数对(,)的集合,规定(,)=(,)当且仅当 =,=，并定义如下的运算：[368-09][368-10],是复数，的共轭数,[kg1]是实数。直接验证可知,是实数域[kg1][kg1]上的一个四维结合代数，除了乘法交换律之外，的运算具有通常的数运算的所有性质这是第一个非交换可除代数的例子。
如令 [368-06]，
[368-07]，则它们组成上代数的一个基,而关于此基的乘法表是：1是单位元;[368-11][368-08]。这就是著名的四元数代数。
由于推广数系而得出四元数代数，随之产生出实数域与复数域上的结合代数的概念，最初曾称之为：“超复数系”。实数域上有限维可除代数有三个而且只能有此三个：实数域、复数域、四元数代数。这就是著名的弗罗贝尼乌斯定理。而韦德伯恩定理则刻画了关于有限域的情形：有限域上有限维可除代数只能是有限域。
域上一切×矩阵的集合关于矩阵的加法、乘法和数乘运算,作成一个维结合代数,而且是单代数。用域上[kg1]维可除代数去代替域，就得到上一切×矩阵组成的上维结合代数。也是单代数。
关于有限维结合代数的韦德伯恩理论，对代数的研究有深远的影响。这一理论的主要内容是：①任意有限维结合代数含有一个极大的幂零理想(所谓是幂零的，意指存在一个自然数，使中任意个元素之积都是零)，它包含[kg1]的一切幂零理想，[kg1]称为[kg1]的幂零根，而商代数[kg1]/[kg1]的幂零根为零，幂零根为零的代数，称为半单代数；②半单代数是有限个单代数的直和;③上单代数必具有形式,其中[kg1]是上可除代数，且和是惟一的；④任意代数=[kg1]+（向量空间的直和），其中是的幂零根，是的半单代数。
..马尔采夫证明了④中的子代数[kg1][kg1]在不计内自同构的意义下是惟一的。根据上述韦德伯恩定理，有限维代数的研究，基本上可归结为对幂零代数与可除代数的研究。实际上这是研究代数的一个模式：对代数引入根的概念，从而可将对任意代数的研究化归为对两类特殊代数的研究。结合环的阿廷理论和雅各布森理论，以及关于非结合代数和环的一些研究都是按照这一模式进行的。
上单代数有单位元1，因此可认定=1。若的中心(即与中任意元素都是乘法可换的元素的全体)恰是，则称为上中心单代数。是上中心单代数。
张量积在研究单
代数时起着重要作用设、是有单位元的代数。取在上的一个基：[369-12],且[369-01][369-13];取在上的一个基:[369-14],且[369-02]。以符号集[369-15]为基可作上一个向量空间，记作。规定的一个乘法：[369-03a][369-03][369-3],则得上一个结合代数，称之为上代数[kg1]和的张量积。可以证明,代数与[kg1]和之基的选择无关。两个上中心单代数的张量积仍是上中心单代数利用张量积可以定义张量代数,或者外代数、格拉斯曼代数（见多重线性代数）。
令[kg1]表示上有限维中心单代数的全体。在集合[kg1]中引入关系～：[kg1]～当且仅当存在[kg1]、[kg1][kg1](使得[369-04][369-4]。容易证明，这是一个等价关系。令[kg1]表示[kg1]所在的等价类，[369-05]。在集合[kg1][kg1]中规定一个乘法：[369-06]。可以证明，这个乘法定义是合理的,[kg1]即与等价类的代表选择无关，并且关于此乘法作成一个群。称群{[kg1][kg2],}为域[kg1][kg1]上的布饶尔群，记作()。()的结构反映了中心单代数间的张量积的性质。可以证明()是交换周期群。
若是上维中心单代数，且含有一个子域,而是上次正规扩域，则[kg2]称为一个交叉积。若是域上的循环扩域,则交叉积特称为循环代数。交叉积有比较简单的乘法表，然而它有很好的代表性：()中任一元素(即等价类中)必含有一个交叉积。
布饶尔-哈塞-诺特－阿尔贝特理论是有限维结合代数中特别重要而完美的理论。它阐明了有理数域上的每一个单代数（尤其可除代数）都是其中心[kg1][kg2]上的循环代数,也就是说，有理数域的有限扩域上的中心单代数都是循环代数。近年来，S.阿米策等人讨论了不是交叉积的可除代数。
所谓有限维结合代数的表示,是指代数到域上矩阵代数内的同态映射。有限维结合代数的表示理论与有限群表示论之间有密切的联系。设是一有限群,其元素为,,…,，[kg1]是一域,作一个以,,…,为基元的维向量空间,于是便得到上一个结合代数,称之为群代数，并记作[]。由结合代数[]的一个表示可得群[kg1]的一个表示。反之亦然。若域的特征不能整除群的元素个数││,则[]是半单代数。这就是马施克定理。由前述的韦德伯恩定理可进而得出半单代数的较为完整的表示理论，它可用来刻画有限群的常表示。若为域的特征能整除││的情况，即有限群的模表示，则要求发展上非半单代数的表示弗罗贝尼乌斯代数、拟弗罗贝尼乌斯代数、单列代数以及它们的推广，是首先研究的非半单代数类，在研究中广泛使用了同调代数工具。近年来，代数的表示论在M.奥斯兰德、P.加布里埃尔、A.V.罗伊特等人手中有很大发展，是很活跃的一个代数分支。
1933年中山正、松岛与三证明了局部域上单代数的换位子群等于换 1元素群。王湘浩在1950年证明了上述二群在代数数域情形下仍相等，而且在一般域的情形下当指数无平方因子时也相等。这里首先提出的在最一般的情形下的问题,这在以后兴起的代数理论和代数群理论中是很重要的。
参考书目
A.A.阿尔贝脱著,谢邦杰译：《代数结构》,科学出版社,北京，1963。(A.A.Albert,Structure of Alebras. Vol.24,Amer.Math.Soc.,New York,1939.
.... ，,《》，，1980.
R.S. Pierce，Associative Alebras，Springer-Verlag,New York.1982.
刘绍学
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