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第16题
宠物狗销售： 背景：一家宠物店卖小狗。这家店每天需要在每只小狗身上花费10元钱，因此宠物店不想在店里存储太多的小狗。通过调查研究，在给定的天数x内，所卖出的小狗的数量服从泊松分布(λ =0.1)。
宠物店每十天平均能卖出一只小狗，而每卖出一只小狗的利润是20元。当一个顾客来到宠物店里时，如果店里没有宠物卖，那么该顾客就会到别的宠物店去。如果宠物店预定小狗的话,则所预定的小狗需要到6天后才能到店里。现在该宠物店正在考虑一种预定小狗的最好策略。
策略A：每卖出一只小狗，宠物店就新预定一只。这个策略意味着每次店里只有一个小狗，因此宠物店就不会花费太多在小狗身上。
策略B：宠物店每隔10天就预定一只新的小狗，该狗6天后到。使用这个策略后,如果顾客连续几个星期没有光顾宠物店，则宠物店必须花大量的钱在小狗上。
问题：
1、编写程序,来模拟这两种策略，并比较哪一种策略好。
2、请提出第三种更好的策略，写出数学证明,并用软件模拟。
第17题
农作物加工与存放：某县是我国A、B两种农作物的主要生产基地，近15年来农作物总产量如附表，目前全县只有一个容量为1200吨的粮库，需要建造一新的粮库，为了提高农民的收入，同时还要建造一个农作物加工工厂。解答下面问题：
（1）该县的农作物加工工厂计划利用A、B两种农作物混合加工成甲、乙两种农产品，现在市场上这两种农产品的售价分别为4800元和5600元，为了保证产品质量，甲产品中A农作物的含量不能低于50%，乙产品中A农作物的含量不能低于60%。粮库每年可以提供的A农作物不超过500吨，B农作物不超过1000吨，不过A农作物还可以从临县约1500吨余粮中购买，如果购买量不超过500吨，单价为 10000元/吨，如果超过500吨不超过1000吨，超过500吨的部分单价为8000元/吨，购买量超过1000吨时超过部分单价为6000元/
吨，该加工工厂应如何安排生产才能获的最大利润。
（2）该县应当建造容量为多少的仓库，才能适应将来农作物总产量不断增长的需求。请写出五年的工作计划!附表：（吨/年）
第
18题
加工业生产的稳态模拟问题：某工厂共有50机床加工原料，另配有4台备用机床，当正在加工的机床发生故障时，立即将备用机床投入生产过程，而发生故障的机床则移至由三名修理工组成的机修组进行修理，假定一台机床只由一名工人操作使用，维修时也只由一名修理工修理。经过实际调查，机床发生故障的间隔时间服从均值等于157小时的指数分布，一名修理工修理一台机床的时间服从[4,10]小时之间的均匀分布。进入修理状态的机床修理完成后成为备用机床待用状态。此系统的工作流程如图所示。
50名工人 3名修理工
为符合加工的实际情况，我们还制定两条规则：
1.某机床发生故障直接交给修理工修理时，总是送给休息时间最久的修理工。
2.某机床修理完成，若直接交给工人加工时，总是送给休息时间最久的工人。
管理部门要求了解机床用于生产的利用率、处于备用状态的机床数、等待修理的机床数以及机床和修理工忙期的平均值等，以便对此维修策略进行评价。
对于这个稳态模拟问题，我们可考虑该系统运行三年（共156周）的情况，并假设每周工作5天，每天工作8小时。
请建立数学模型以分析整个生产系统的特性（最少有多少台机器同时在运行；最多有多少台机器在等候修理；平均每小时有多少工人处于工作状态；平均每小时有多少修理工处于工作状态；平均每小时有多少台机器在等待修理；等等。）；进一步研究生产工人人数和修理工人人数变化对生产系统运行情况的影响，给出最优的人事安排方案。
第19题
抑制房地产投机问题：近几年来，我国各大城市的房价出现了普遍持续上涨情况。一方面，房价的上涨使生活成本大幅增加，导致许多中低收入人群买房难；另一方面，部分投机者通过各种融资渠道买入房屋囤积，期望获得高额利润，导致房价居高不下。因此，如何有效抑制房地产价格上扬，抑制房地产投机，是一个备受关注的社会问题。国家为此出台了提高房地产贷款利率和二手房转贷限制等各项政策，现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：
1、建立一个城市房价的数学模型，通过这个模型对房价的形成、演化机理和房地产投机进行深入细致的分析；
2、通过分析找出影响房价的主要原因；
3、分析国家提高房地产贷款利率和二手房转贷限制对房地产投机者的影响；
4、给出抑制房地产投机的政策建议；
5、对你的建议可能产生的效果进行科学预测和评价。
第20题.
出租车调价问题：受国际原油价格持续上涨影响, 经国务院批准，国家发改委通知, 自2006年3月26日起将汽油和柴油出厂价格每吨分别提高300元和200元。福建省的汽油和柴油零售基准价每吨分别提高250元和150元。福州市93号汽油每升上调0.21元，调价后为每升4.47元。
国家发改委提高成品油价格的消息发布后，一些地方迅速做出反应。在油价走高的背景下，全国出租车价格涨声一片。国家发改委要求各地建立出租车运价与油价的联动机制，今后按照联动机制调整运价。目前北京、上海已经建立了出租车运价与油价的联动机制。
以上海市为例，在2006年4月17日召开的出租车运价油价联动机制听证会上公布了两个公式，运价油价联动机制今后将通过两个公式来操作。
第一个公式用于调整出租车起步费。按照这个公式，如果油价平均提高一元，根据前期调研，单车每天消耗汽油43.75升，日均载客34次，代入公式，每车起步价需要提高1.29元；第二个公式用于调整超过起步价后的出租车公里单价。按照这个公式，如果油价每升平均提高1元，每车每天行驶350公里、载客率61%、起步价外公里占总公里数的64%，与公里油耗无关的加价计时等营运附加收入系数0.15，计算后可以发现每公里运价需要提高0.27元。 从2006年5月11日起，上海市区出租车起租价提高1元，由3公里10元调整为3公里11元；超起租里程每公里运价提高0.10元，由2元调整为2.10元。
据测算，此番调价后，上海市区出租车每车每月将增收1400元左右。此前每月给每辆出租车820元的补贴从6月起取消。同时上海将对出租车驾驶员降低现有承包指标(份子钱)，并予以规范。
考虑以下问题：
（1） 根据以上信息给出上海市出租车运价和油价联动机制的两个计算公式。
（2） 分析这两个计算公式的合理性。
（3）根据福州市出租车运营的实际情况，这两个计算公式是否适合作为福州市出租车运价油价联动机制？如不适合，给出适合福州市出租车运营的实际情况的运价油价联动机制。根据计算公式给出福州市出租车运价调整方案。
第21题
抗雪救灾的数学模型： 抗雪救灾应急预案 2008年伊始，一场罕见的五十年一遇的特大雪灾袭击了我国南方地区。这场雪灾造成湖南、湖北、安徽、贵州、云南、广州、河南等十省区严重受灾，给广大人 民的生命财产带来了巨大的损失，受灾人数超过7000万人。极端灾害天气导致南方地区的民航、铁路、高速公路全县受阻，数以千万记的旅客被迫滞留在火车 站、汽车站和机场。这场雪灾害造成大量的电力设施、通讯设施的严重损坏，引起多地电力、通讯中断，很多城市进入大面积二级停电事件应急状态。冰雪灾害给我 国南方地区的工农业造成了严重影响，特别是造成林业资源的严重破坏。经专家测算，因雪灾损失的林业资源至少需要五到二十年才能恢复，冰雪灾害对中国南方自 然保护区的影响更为深远。林业自然保护区和野生动植物资源包括林区基础设施遭受重创，林区防火道路、了望塔、监测系统、生态监测定位站等都受到了严重的损 失，很多野生动植物冻死冻伤，破坏和影响可以说是巨大而且是比较长远的。据不完全统计，这场雪灾造成的直接损失超过千亿元，由此对我国经济造成的间接损失 还有待于进一步评估。 在党和政府的正确领导下，我国人民众志成城，举国上下齐心协力，一举取得了抗雪救灾的全面胜利。灾害过后，当我们安居乐业之时，我
们必须认真地思考有关问 题，特别是有待于进一步完善抗击自然灾害的应急方案，进一步提高我们抗击自然灾害的能力。 请您通过互联网、报纸、杂志等媒体查阅有关南方雪灾的资料，分析各地抗雪救灾的成功案例，为政府决策部门抗击自然灾害提供决策依据。您的方案应该至少包括 以下内容：
1． 通过对雪灾冰冻自然灾害对社会经济影响的分析，提出抗雪救灾的决策指标，建立抗雪救灾的数学模型。
2． 基于您的数学模型，提出抗雪救灾应急预案，并分析您的预案的优劣。
3． 给有关部门写一篇不超过800字的短文，推荐您的抗雪救灾应急预案。 --以2008年我国南方地区冰冻和雪灾为例 一、提案和建议的内容：关于我国应对自然灾害经验、启示与对策建议 二、提案和建议受理部门：铁道部、交通部、电监会和电网公司等 三、对我国应对自然灾害的经验、启示和对策建议
第22题
森林管理问题：自然资源可以分为两大类，一类叫做消耗性资源，比如煤、铁、石油等矿产，随着人类的开采，它不断被消耗，贮存量越来越少，一直到被消耗完为止；另一部分叫做可更新资源，比如森林、渔场和各种野生动物等资源，在人们利用其中一部分以后，能够通过资源群的自我更新而得到恢复，从而达到多次利用的目的。例如一片森林，在砍伐其中一部分以后，它就能够经过自我更新再长起来，当然恢复的时间随树种和林型的不同而不同。 现在，考虑一片年龄很长的树种（100-200年）森林，已知森林中各年龄树木的数量分布。为了维持森林的基本管理费用，森林中的树木在一定的时间周期内要有一批被砍伐出售。设v(t)表示年龄为t的树木的价值，由于该片森林是年龄很长的树种，所以在考虑树木的价值时必须同时考虑到现金的时间贴现，称为r为贴现率，即时间t的单位现金只相当于当前的e-rt，同时也需要考虑管理成本等经济问题。森林管理者希望你队能帮助他解决下列问题：
1)若已知各年龄树木的价值，给出单株树木最优砍伐的时间；
2)如果已知v(ti) i=1,2,…,n及r，试给出最优砍伐的时间的计算公式；
3)为了使这片森利不被耗尽而且每个时间周期内都有所收获，要求：每当砍伐掉一棵树木，就在原地补种上一棵幼苗，从而使得森林中树木的总数保持不变。如果各砍伐周期相同，试确定最优砍伐周期，并给出一种方案，使得在维持每个砍伐周期都有收获的前提下，去砍伐树木，使被砍伐的树木获得最大的经济效益。
第23题
出租车调价问题：受国际原油价格持续上涨影响, 经国务院批准，国家发改委通知, 自2006年3月26日起将汽油和柴油出厂价格每吨分别提高300元和200元。福建省的汽油和柴油零售基准价每吨分别提高250元和150元。太原市93号汽油每升上调0.21元，调价后为每升4.47元。
国家发改委提高成品油价格的消息发布后，一些地方迅速做出反应。在油价走高的背景下，全国出租车价格涨声一片。国家发改委要求各地建立出租车运价与油价的联动机制，今后按照联动机制调整运价。目前北京、上海已经建立了出租车运价与油价的联动机制。
以上海市为例，在2006年4月17日召开的出租车运价油价联动机制听证会上公布了两个公式，运价油价联动机制今后将通过两个公式来操作。
第一个公式用于调整出租车起步费。按照这个公式，如果油价平均提高一元，根据前期调研，单车每天消耗汽油43.75升，日均载客34次，代入公式，每车起步价需要提高1.29元；第
2010年上学期2008级数学与应用数学，信息与计算科学专业 《数学建模》课程考试供选试题
第1题
4万亿投资与劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下：
1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？
2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？
3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？
4、请你给出相关的政策与建议。
第2题
深洞的估算： 假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的 石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。
1、不计空气阻力；
2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05；
3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025；
4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。
第3题
优秀论文评选： 在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。
Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。
Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。
如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:
1、请建立数学模型定量地讨论上面的评审规则的公平性。
2、假设小组组长、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的概率分别为0.3，0.4，0.6。组委会希望给每个评委的投票设置一定的权重，应该如何设置才最合理，用数学模型支持你的观点。
第4题
送货问题： 某地区有8个公司(如图一编号①至⑧)，某天某货运公司要派车将各公司所需的三种原材料A,B,C从某港口(编号⑨)分别运往各个公司。路线是唯一的双向道路(如图１)。货运公司现有一种载重 6吨的运输车，派车有固定成本20元/辆，从港口出车有固定成本为10元/车次(车辆每出动一次为一车次)。每辆车平均需要用15分钟的时间装车，到每个公司卸车时间平均为10分钟，运输车平均速度为60公里／小时(不考虑塞车现象)，每日工作不超过8小时。运输车载重运费1.8元/吨公里，运输车空载费用0.4元/公里。一个单位的原材料A,B,C分别毛重4吨、3吨、1吨，原材料不能拆分，为了安全，大小件同车时必须小件在上，大件在下。卸货时必须先卸小件，而且不允许卸下来的材料再装上车，另外必须要满足各公司当天的需求量(见表１)。 问题：
1、货运公司派出运输车6辆，每辆车从港口出发(不定方向)后运输途中不允许掉头，应如何调度(每辆车的运载方案，运输成本)使得运费最小。
2、每辆车在运输途中可随时掉头，若要使得成本最小，货运公司怎么安排车辆数？应如何调度？
3、(1)如果有载重量为4吨、6吨、8吨三种运输车，载重运费都是1.8元/吨公里，空载费用分别为0.2，0.4，0.7元/公里，其他费用一样，又如何安排车辆数和调度方案？(2)当各个公司间都有或者部分有道路直接相通时，分析运输调度的难度所在，给出你的解决问题的想法(可结合实际情况深入分析)。
图１ 唯一的运输路线图和里程数
表１ 各公司所需要的货物量
第5题
生产与存贮问题： 一个生产项目，在一定时期内,增大生产量可以降低成本费,但如果超过市场的需求量,就会因积压增加存贮费而造成损失。相反,如果减少生产量,虽然可以降低存贮费,但又会增加生产的成本费,同样会造成损失。因此,如何正确地制定生产计划,使得在一定时期内,生产的成本费与库存费之和最小,这是厂家最关心的优化指标，这就是生产与存贮
问题。
假设某车间每月底都要供应总装车间一定数量的部件。但由于生产条件的变化,该车间每月生产单位部件所耗费的工时不同,每月的生产量除供本月需要外,剩余部分可存入仓库备用。今已知半年内,各月份的需求量及生产该部件每单位数所需工时数如下所示: 月份( k)： 1 2 3 4 5 6
月需求量(bk)： 8 5 3 2 7 4
单位工时(ak)： 11 18 13 17 20 10
设库存容量H = 9,开始时库存量为2,期终库存量为0。要求制定一个半年逐月生产计划,使得既满足需求和库存容量的限制,又使得总耗费工时数最少。
解：S：总耗费工时。a(n):月耗工时。H（n）：月库存量。Y（n）:月生产量。B（n）：月需求量。Q：总成本费。W：总存贮费。M:总费用。
由保证需求量及库存容量的约束条件下，我们可以得到以下的约束条件，转换成数学模型。
H1=Y1+2-8 0<=H1<=9
H2=Y2+H1-5 0<=H2<=9
H3=Y3+H2-3 0<=H1<=9
H4=Y4+H3-2 0<=H1<=9
H5=Y5+H4-7 0<=H1<=9
H6=Y6+H5-4 H6=0
由此可以得到以下的式子：
0<=Y1+2-8<=9 6<=Y1<=15
0<=Y2+H1-5<=9 11-Y1<=Y2<=20-Y1
0<=Y3+H2-3<=9 14-(Y1+Y2)<=Y3<=23-(Y1+Y2)
0<=Y4+H3-2<=9 16-(Y1+Y2+Y3)<=Y4<=25-(Y1+Y2+Y3)
0<=Y5+H4-7<=9 23-(Y1+..Y4)<=Y5<=32-(Y1+...Y4)
Y6+H5-4=0 Y1+Y2+.....Y6-27=0
我们是从一月份开始逐月的确定生产量，又要考虑耗费工时的最小。
a1=Y(1)11/8 a2= Y(2)18/5 a3=Y（3）13/3
a4=Y（4）17/2 a5=Y(5)20/7 a6=Y(6)10/4
11/8=1.3（最小） 18/5=3.6
13/3=4.3 17/2=8.5(最大)
20/7=3 10/4=2.5（第二小）
所以：总工时
S=a1+a2+...............a6
总费用
M=Q+W
经分析要使得S取最小值，库存量H1，H2必须取最大值，H4，H5取最小值。所以得到的逐月生产计划是：
月份 1 2 3 4 5 6
生产量 15 5 0 0 3 4
第6题
碎石运输方案设计：在一平原地区要进行一项道路改造项目，在A，B之间建一条长200km，宽15m，平均铺设厚度为0.5m的直线形公路。为了铺设这条道路，需要从S1，S2两个采石点运碎石。1立方米碎石的成本都为60元。（S1，S2运出的碎石已满足工程需要，不必再进
一步进行粉碎。）S1，S2与公路之间原来没有道路可以利用，需铺设临时道路。临时道路宽为4m，平均铺设厚度为0.1m。而在A，B之间有原来的道路可以利用。假设运输1立方米碎石1km运费为20元。此地区有一条河，故也可以利用水路运输：顺流时，平均运输1立方米碎石1km运费为6元；逆流时，平均运输1立方米碎石1km运费为10元。如果要利用水路，还需要在装卸处建临时码头。建一个临时码头需要用10万元。
建立一直角坐标系，以确定各地点之间的相对位置：
A（0,100），B（200,100），s1(20,120)，s2(180,157)。
河与AB的交点为m4(50,100) （m4处原来有桥可以利用）。河流的流向为m1→m7，m4的上游近似为一抛物线，其上另外几点为m1(0,120)，m2(18,116)，m3(42,108)；m4的下游也近似为一抛物线，其上另外几点为m5(74,80)，m6(104,70)，m7(200,50)。 桥的造价很高，故不宜为运输石料而造临时桥。
此地区没有其它可以借用的道路。
为了使总费用最少，如何铺设临时道路（要具体路线图）；是否需要建临时码头，都在何处建；从s1，s2所取的碎石量各是多少；指出你的方案的总费用。
第7题
人民币的汇率问题： 人民币汇率对经济的影响近年来成为人们议论的热点，有不少经济学家在探讨人民币汇率对我国及世界经济发展的影响。一些学者希望提高人民币对一些主要货币的汇率，另一些学者则希望稳定人民币的汇率。试建立数学模型解决下列问题：
1、以英镑汇率或日元汇率为例研究其变化对该国经济的影响；
2、人民币汇率与主要货币(如英镑、日元、欧元等)的汇率关系；
3、人民币汇率变化对我国及世界经济的影响。
第8题
列车售餐问题： 长途列车由于时间漫长，需要提供车上的一些服务。提供一天三餐是主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵。如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，
因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，
不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。 解：4 问题假设：
1.价格每增加1元，就会有20个人选择放弃购买 ,即b1 = 20; 2.方便面价格每增加1元，就会有36个人选择放弃购买 ,即b2 = 36; 3.因为500人有在车上买饭的要求，假设早餐能提供500份；
4.早餐的价格每增加1元，就会有30个人选择放弃购买, 即b3 = 30; 5.各餐饮市场上的价格作为这里的成本价,即q1 = 10元（盒饭），q2 = 3元（方便面），q3 =5元（早餐）；
6.销量 x 依赖于价格 p, x(p)是减函数 7.进一步设: x ( p ) = a – bp, a, b > 0； 5 符号说明： q：以各餐饮市场上的价格作为这里的成本价，即食物的成本价； p：食物所卖的价格； a：绝对需求( p很小时的需求)，即价格最低时的购买人数； b：价格上升1元时购买人数的下降幅度（需求对价格的敏感度）； I：收入；U：利润；C：支出； x：需要购买某食物的人数； 相应的下标1，2，3分别表示早餐，盒饭，方便面;例如：x1, x2, x3分别表示购买盒饭，方便面，早餐的人数； 6 模型建立与求解： 采用先统一再分开的算法； 收入I ( p ) = px; 支出 C ( p ) = qx; 利润 U ( p ) = I ( p ) – C ( p ); 求p使U ( p ) 最大； 使利润 U(p)最大的最优价格 p*满足
U ( p ) = I ( p ) – C ( p ) = (p – q )( a – bp) = -bpp + ( a + bq)p - aq
因为 q / 2 ~ 成本的一半； b ~ 价格上升1单位时销量的下降幅度（需求对价格的敏感度）b p* a ~ 绝对需求( p很小时的需求) a p*
7 对于盒饭：
由假设可知：q1 = 10, b1 = 20；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；所以：a1 = 500; 购买人数x1 = 500 – 20p1;
由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q1 / 2 + a1 / 2 * b1 = 10 / 2 + 500 / 2 * 20 = 17.5; 由 500 – 20 * 17.5 = 150 < 200; 此时不能直接用公式； 由500 – 20p1 >= 200 得到 p1 <= 15; 所以取得最大利润时p1 = 15;
8 同理可得方便面：
q2 = 3, b2 = 36；因为500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人，此时还剩下300人需求方便面；所以，a2 = 300, 购买人数x = 300 –36p2 ;
由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q2 / 2 + a2 / 2 * b2 = 3 / 2 + 300 / 2 * 36 = 6.3; 由 300 – 36 * 6.3 = 73 < 100; 此时也不能直接用公式
由 300 – 36 * p2 >= 100;得到p2 <= 5.5 由U（p）= -bpp + (a + bq)p – aq可知： 当U（p)取最大值时，p2 = 5.5;
9 同理可得早餐：
q3 = 5, b3 = 30；因为500人有在车上买饭的要求，以：a1 = 500; 购买人数x1 = 500 – 30p3; 因为供应量不受约束，所以可以直接用公式：
由p* = q / 2 + a / 2 * b 可得：p* = q3 / 2 + a3 / 2 * b3 = 5 / 2 + 500 / 2 * 30 = 11.5;
所以取得最大利润时p1 = 11.5; 盒饭、方便面、早餐的价格分别为15元、5.5元、11.5元；
第9题
居民区供水问题：某居民区的民用自来水是由圆柱形水塔提供,水塔高12.2米,直径17.4米.水塔是由水泵根据水塔内水位高低自动加水,一般每天水泵工作两次.现在需要了解居民区用水规律与水泵的工作功率.按照设计,当水塔的水位降至最低水位,约8.2米,水泵自动启动加水;当水位升高到一个最高水位, 约10.8米,水泵停止工作.
可以考虑采用用水率(单位时间的用水量)来反映用水规律,并通过间隔一段时间测量水塔里的水位来估算用水率,表1是某一天的测量记录数据,测量了28个时刻,但是由于其中有3个时刻遇到水泵正在向水塔供水,而无水位记录(表1中用//表示).
试建立合适的数学模型,推算任意时刻的用水率,一天的总用水量和水泵工作功率.
第10题 导弹攻击：某军一导弹基地发现正北方向120千米处海上有一艘敌艇以90千米/小时的速度向正东方向行驶.该基地立即发射导弹跟踪追击敌艇,导弹速度为450千米/小时,自动导航系统使导弹在任一时刻都能对准敌艇。 试问导弹在何时何地击中敌艇?
如果当基地发射导弹的同时,敌艇立即仪器发现.假定敌艇即刻以135千米/小时的速度向与导弹方向垂直方向逃逸,问导弹何时何地击中敌艇? 敌艇与导弹方向成何夹角逃逸最好?结论中有何启示? 解：当t =0 时,导弹位于原点O,敌艇位于(0,120)点； 当时刻t ,导弹位于L(x(t),y(t))，敌艇位于(90t,120)点。 导弹速度可由水平分速度与垂直分速度合成： (dx/dt)^2+(dy/dt)^2=450^2______【1】 导弹方向指向敌艇,导弹轨迹的导数就是其切线，
所以 dy/dx=(120-y)/(90t-x)__________【2】 而dy/dx＝(dy/dt)/(dx/dt) 解以上微分方程组，初始条件为：x(0)=0,y(0)=0 数值解法，用差分方程法。 dx=x(k+1)-x(k);dy=y(k+1)-y(k);dt=t(k+1)-t(k)=h
第11题
产销问题：某企业主要生产一种手工产品，在现有的营销策略下，年初对上半年6个月的产品需求预测如表1所示。
1月初工人数为10人，工人每月工作21天，每天工作8小时，按规定，工人每个月加班时间不得超过10个小时。1月初的库存量为200台。产品的销售价格为240元/件。该产品的销售特点是，如果当月的需求不能得到满足，顾客愿意等待该需求在后续的某个月内得到满足，但公司需要对产品的价格进行打折，可以用缺货损失来表示。6月末的库存为0（不允许缺货）。各种成本费用如表2所示。
表2. 产品各项成本费用
（1）若你是公司决策人员，请建立数学模型并制定出一个成本最低、利润最大的最优产销方案；
（2）公司销售部门预测：在计划期内的某个月进行降价促销，当产品价格下降为220元/件时，则接下来的两个月中6%的需求会提前到促销月发生。试就一月份（淡季）促销和四月份（旺季）促销两种方案以及不促销最优方案（1）进行对比分析，进而选取最优的产销规划方案。
解：问题一：㈠目标函数及其子函数的建立⑴目标函数为：
Max=7250×240－m 即最大利润减去最小成本，由于每月的预计值已经固定不变，并且题目要求六月份
的缺货量为零，故6个月销售的产品个数总和是固定的7250件，售价不变，其销售总金额也不变，所以该问题转化为求解成本最小的问题。 ⑵又有m=f0+r0
? 6个月非人力成本等于各个月非人力成本之和 ? 6个月人力成本等于各个月人力成本之和
⑶根据变量之间的关系分析人力成本故可列出算式：人力成本=正常工人工资＋当月招聘人员的培训费＋当月解雇人员的遣散费＋加班费
第12题
订购问题：假如你负责一个中等面粉加工厂的原料采购。该工厂每星期面粉的消耗量为80包，每包面粉的价格是250元。在每次采购中发生的运输费用为500元，该费用与采购数量的大小无关，每次采购需要花费1小时的时间，工厂要为这1小时支付80元。订购的面粉
可以即时送达。工厂财务成本的利率以每年15%计算，保存每包面粉的库存成本为每星期1.10元。
（1）目前的方案是每次采购够用两个星期的面粉，计算这种方案下的平均成本。 （2）试建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。
（3）若面粉供应商为推出促销价格：当面粉的一次购买量大于500包时，为220元/包。建立数学模型计算最优订货量及相应的平均成本。 解
所以库存费：
符号说明补充：
9
第13题
肥皂液薄膜曲面问题：如果你把一根铜丝弯成一条封闭的空间曲线(留出一个把手), 将这个框架浸入配制好的肥皂液, 然后将它轻轻地提取出来, 那么肥皂液就会在铜丝框架上张成一个处于平衡状态的绚丽多彩的薄膜. 试分析这个薄膜是怎样的曲面?
22??x?y?1,如图1建立空间直角坐标系, 若框架曲线满足方程?请画出薄膜曲面的图像. 2??u?x,
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图1 框架曲线
第14题．
讨价还价中的数学：在当前市场经济条件下，在商店，尤其是私营个体商店中的商品，所标价格a与其实际价值b之间，存在着相当大的差距。对购物的消费者来说，从希望这个差距越小越好，即希望比值λ接近于1，而商家则希望 λ>1。
这样，就存在两个问题：第一，商家应如何根据商品的实际价值（或保本价）b来确定其价格a才较为合理？第二，购物者根据商品定价，应如何与商家"讨价还价"？
第一个问题，国家关于零售商品定价有相关规定，但在个体商家实际定价中，常用"黄金数"方法，即按实际价b定出的价格a，使b:a≈ 0.618。虽然商品价值b位于商品价格a的黄金分割点上，考虑到消费者讨价还价，应该说，这样定价还是较为合理的。
对消费者来说，如何"讨价还价"才算合理呢？一种常见的方法是"对半还价法"：消费者第一次减去定价的一半，商家第一次讨价则加上二者差价的一半；消费者第二次还价要减去二者差价的一半；如此等等。直至达到双方都能接受的价格为止。
有人以为，这样讨价还价的结果其理想的最终价格将是原定价的黄金分割点。是这样的吗？试进行定量分析，并给出结果。
第15题．
铅球运动员成绩：众所周知，铅球的投掷运动是运动员单手托住7.264kg(16磅)重的铅球在直径为2.135m的投掷圆内将铅球掷出并且使铅球落入开角为45o的有效扇形区域内。以铅球的落地点与投掷圆间的距离度量铅球投掷的远度，并以铅球投掷远度的大小评定运动员的成绩。
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在铅球的训练和比赛中，铅球投掷距离的远与近是人们最关心的问题。而对于教练和运动员最为关心的问题是如何使铅球掷得最远。影响铅球投掷远度的因素有哪些？建立一个数学模型，将预测的投掷距离表示为初始速度和出手角度的函数。最优的出手角度是什么？如果在采用你所建议的出手角度时，该运动员不能使初始速度达到最大，那么他应该更关心出手角度还是出手速度？应该怎样折中？
哪些是影响远度的主要因素？在平时训练中，应该更注意哪些方面的训练？试通过组建数学模型对上述问题进行分析，给教练和运动员以理论指导。
参考数据资料如下：
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二个公式用于调整超过起步价后的出租车公里单价。按照这个公式，如果油价每升平均提高1元，每车每天行驶350公里、载客率61%、起步价外公里占总公里数的64%，与公里油耗无关的加价计时等营运附加收入系数0.15，计算后可以发现每公里运价需要提高0.27元。 从2006年5月11日起，上海市区出租车起租价提高1元，由3公里10元调整为3公里11元；超起租里程每公里运价提高0.10元，由2元调整为2.10元。
据测算，此番调价后，上海市区出租车每车每月将增收1400元左右。此前每月给每辆出租车820元的补贴从6月起取消。同时上海将对出租车驾驶员降低现有承包指标(份子钱)，并予以规范。 考虑以下问题：
（1）根据以上信息给出上海市出租车运价和油价联动机制的两个计算公式。 （2） 分析这两个计算公式的合理性。 （3） 根据太原市出租车运营的实际情况，这两个计算公式是否适合作为太原市出租车运价油价联动机制？如不适合，给出适合太原市出租车运营的实际情况的运价油价联动机制。根据计算公式给出太原市出租车运价调整方案。
第24题
铺路问题：准备在A地与B地之间修建一条地下管线，B地位于A地正南面20km和正东30km交汇处，它们之间有东西走向岩石带。地下管线的造价与地质特点有关，下图给出了整个地区的大致地质情况，显示可分为三条沿东西方向的地质带，其宽度分别为：沙土地质带宽C1，沙石地质带宽C2，岩石地质带宽C3。
在给定三种地质条件上每千米的修建费用的情况如下：
试解决以下几个问题：
(1) 图中直线AB显然是路径最短的，但不一定最便宜；而路径ARSB过岩石和沙石的路径最短，但是否是最好的路径呢？试建立一个数学模型，确定最便宜的管线铺设路线。 (2) 铺设管线时，如果要求管线转弯时，角度至少为 ，确定最便宜的管线铺设路线。 (3) 铺设管线时，如果要求管线必须通过位于沙石地质带或岩石地质带中的某一已知点P（位于A地正南面10km和正东20km交汇处）时，确定最便宜的铺设路线。
第25题
体能测试时间安排：某校按照教学计划安排各班学生进行体能测试，以了解学生的身体状况。测试包括身高与体重、立定跳远、肺活量、握力和台阶试验共5个项目，均由电子仪器自动测量、记录并保存信息。该校引进身高与体重测量仪器3台，立定跳远、肺活量测量仪器各1台，握力和台阶试验测量仪器各2台。
身高与体重、立定跳远、肺活量、握力4个项目每台仪器每个学生的平均测试（包括学生的转换）时间分别为10秒、20秒、20秒、15秒，台阶试验每台仪器一次测试5个学生，需要3分30秒。
每个学生测试每个项目前要录入个人信息，即学号，平均需时5秒。仪器在每个学生测量完毕后学号将自动后移一位，于是如果前后测试的学生学号相连，就可以省去录入时间，而同一班学生的学号是相连的。
学校安排每天的测试时间为8：00－12：10与13：30－16：45两个时间段。5项测试都在最多容纳150个学生的小型场所进行，测试项目没有固定的先后顺序。参加体能测试的各班人数见附表。
学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并且在整个测试所需时间段数最少的条件下，尽量节省学生的等待时间。
请你用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该数学问题的算法，尽量用清晰、直观的图表形式为学校工作人员及各班学生表示出测试时间的安排计划，并且说明该计划怎样满足学校的上述要求和条件。
最后，请对学校以后的体能测试就以下方面提出建议，并说明理由：如引进各项测量仪器的数量；测试场所的人员容量；一个班的学生是否需要分成几个组进行测试等。 附表 参加体能测试的各班人数
26题：大奖评奖方法的讨论
在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长（出题人），4 名专业评委（专门从事与题目相关问题研究的评委），5 名普通评委（从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审）。组委会原先制定的评审步骤如下： 1、首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。 2、然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 3、接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 4、在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文（从20 篇候选论文中除去已经入选的论文）重复2_4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。如果有超过4 篇的论文获得了至少6 票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。 问题1： 请建立数学模型定量地讨论上面的评审规则的公平性。 问题2： 假设小组组长、专业评委、普通评委受超过半数人的观点影响的概率分别为0.3，0.4，0.6。组委会希望给每个评委的投票设置一定的权重，应该如何设置才最合理，用数学模型支持你的观点。
27题:抵押贷款买房问题
名流花园 用薪金,买高品质住房对于大多数工薪阶层的人士来说,想买房,简直是天方夜谭.现在有这样一栋:自备款只需七万人民币,其余由银行贷款，分五年还清.相当于每月只需付1200人民币。那么,这对于您还有什么问题呢? 张先生看到一则广告:
张先生想问:如果一次付款应给多少钱(假设银行月利是0.01)?假如房产公司说一次付清要13万,张先生应如何决策? 若张先生为买房要向银行贷款60000元,贷款期25年,张先生希望知道每月要还多少钱,如其每月有节余900元,是否可以去贷款买房? 若此时张先生又看到某借贷公司的一则广告："若借款60000元22年还清,只要: (1)每半月还316元.(2)由于文书工作多了的关系,要你预付三个月的款." 请你给张先生决策一下是到银行贷款还是去借贷公司贷款。
28题：试卷的合理均衡分配
考试公平性是评价考试质量的重要方面，也是一个受到广泛关注的问题。现代教育虽然趋向现代化，许多教学可以通过计算机实现，但也有许多的问题是计算机无法解决的，由绝大部分的考试是离不开评委亲自的审查，因为许多的学术问题上，计算机是不会知道的，所以工作量只可以是人为的评改。体现最主要的，就是试卷的合理均匀的分配。
在大学生数学建模竞赛的评卷工作中，M个评委（M个评委来自不同的学校）要完成N份试卷的打分，竞赛试卷来自K个学校，第i个学校有竞赛试卷1份，N=，为节省人力，每份试卷只要由其中p(p<M<K<<N)各评委进行打分就行了。 1．根据回避原则，要求评委不能阅自己学校的试卷。要求给出试卷合理的均匀分配方案的数学模型，使各评委的阅卷工作量均衡，试卷分配均衡分散。 2．给出试卷合理的均衡分配方案的计算机程序，所需参数为p,M,k,N,输出参数为各评委分别阅卷的号码。 A卷试题
29、某家具厂生产桌子和椅子两种家具，桌子售价50元/个，椅子销售价格30元/个，生
产桌子和椅子要求需要木工和油漆工两种工种。生产一个桌子需要木工4小时，油漆工2小时。生产一个椅子需要木工3小时，油漆工1小时。该厂每个月可用木工工时为120小时，油漆工工时为50小时。问该厂如何组织生产才能使每月的销售收入最大？(建立模型不计算)。(10’)
解：1．确定决策变量：x1=生产桌子的数量 x2=生产椅子的数量 2．确定目标函数：家具
厂的目标是销售收入最大 max z = 50 x1 + 30 x2
3．确定约束条件： 4x1+3x2≤120（木工工时限制） 2x1+x2 ≤50 （油漆工工时限制） x1 ≥0, x2 ≥0
30、有四个工人，要分别指派他们完成四项不同的工作，每人做各项工作所消耗的时间如
下表所示，问应如何指派工作，才能使总的消耗时间为最少？（建立模型不计算）(10’)
解：引入变量 表示第i（i=1,2,3,4）位工人去完成第j(j=1,2,3,4)项工作所消耗的时间， 表示第i（i=1,2,3,4）位工人去完成第j(j=1,2,3,4)项工作. 目标函数，年创总利润最大 Max= 约束条件： =1， j=1,2,3,4 =1, i=1,2,3,4 =1或0
结果：甲工人去完成B工作，乙工人去完成A工作，丙工人去完成C工作，丁工人去完成D工作，可使消耗总时间最小，最小为70。
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