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学生姓名:_______年级：_______ 科目：_______ 上课老师：_______

第一讲

分式、反比例函数

知识要点 1．分式的有关概念

设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子

A

就叫做分式．注意分母B的值不能为零，B

否则分式没有意义

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简 2、分式的基本性质

AAMAAM, （M为不等于零的整式） BBMBBM

3．分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似)． ;acadbc

bdbd (异分母相加，先通分)；

bdbdacad

bd

p

acac

;

bcbc

anan

()n.

bbad

4．零指数a1(a0) 5．负整数指数 a

amanamn,



1

(a0,p为正整数). ap

注意正整数幂的运算性质 amanamn(a0),

(am)namn,(ab)nanbn

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、 n可以是O或负整数．

6、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去． 7、列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。 10-2

1. (-5) =_____； 2. 3 =________；3. 当x_________时，分式 有意义；

x+14. 写出等式中未知的式子：

2

（ ）1

= ； c+7cc+7

10ab

5. 2；

4ab

11

6. 的最简公分母为：______；

x-1x-2xa

7. 有增根，则增根为x=______；

x-4x-4

3x-a1

8. 当x=______时，分式1 ；9. 若x=2是方程 的解，则a=______；

2x-1x+1310. 某种感冒病毒的直径是0.00000034米，用科学记数法表示为_______________米；

111

11. 已知公式： ，若R1 =10，R2=15，则R=___________；

RR1R2

26537110-2

12. =2，， + =2，依照以上各

2-46-45-43-47-41-410-4-2-4

式形成的规律，在括号内填入正确的数，使等式

20（ ）

=2成立 20-4（ ）-4

13. 下列关于x的方程中，是分式方程的是（ ）

11x+23+x

A. 3x= =2 C. 2x5414. 下列各式中，成立的是（ ）

1

2a+1y maxa 3

A. = B. C. D. xymbxb1a-1

2

6

2

2

15. 要把分式方程：

31

= 化为整数方程，方程两边需同时乘以（ ）

2（x-2）x

A. 2（x-2） B.x C. 2x-4 D. 2x（x-2）

18. 若有m人a天可完成某项工程，且每个人的工作效率是相同的，则这样的（m+n）人完成这项

工程所需的天数为（ ）

amam+n

A. a + m B. D. m+nm+namx+1x+1x+9xx-9x

19.计算： ; 20.计算： +

x-2x+1x-1x+3xx+6x+9

71-3x

22.解方程： +2 =

x+2x+2

x-2x+1x-x1

24.已知y = 2 ÷，试说明在等号右边代数式有意义的条件下不论x为何值，y

x-1x+1x的值不变。

正比例、反比例、一次函数

2

2

2

2

第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)第三象限(－、－)第四象限(＋，－)；

x轴上的点的纵坐标等于0，反过来，纵坐标等于0的点都在x轴上，y轴上的点的横坐标等于0，反过来，横坐标等于0的点都在y轴上，

若点在第一、三象限角平分线上，它的横坐标等于纵坐标，若点在第二，四象限角平分线上，它的横坐标与纵坐标互为相反数；

若两个点关于x轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。 1、 一次函数，正比例函数的定义

（1）如果y=kx+b(k,b为常数，且k≠0),那么y叫做x的一次函数。

（2）当b＝0时，一次函数y=kx+b即为y=kx(k≠0).这时，y叫做x的正比例函数。 注：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。 2、正比例函数的图象与性质

（1）正比例函数y=kx(k≠0)的图象是过（0，0）（1，k）的一条直线。

（2）当k>0时y随x的增大而增大直线y=kx经过一、三象限从左到右直线上升。

当k

（1） 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过（0，b）（－

注：（0,b）是直线与y轴交点坐标，（－

b

，0）的一条直线。 k

b

，0）是直线与x轴交点坐标. k

（2）当k>0时y随x的增大而增大直线y=kx+b(k≠0)是上升的

当k0, b>0直线经过一、二、三象限 （2）k>0, b0直线经过一、二、四象限 （4）k

（1）k(k≠0)相同，b不同时的所有直线平行，即直线l1:y=k1x+b1；直线l均不为零，k1，b1，k2， b2为常数)

2

:y=k2x+b2( k1，k2

k1=k21

=k2 l1∥l

2

l1与l

2

重合

b1≠b2 b1=b2

（2）k(k≠0)不同，b相同时的所有直线恒过y轴上一定点（0,b），例如：直线y=2x+3, y=-2x+3, y=

1

x+3均交于y轴一点（0，3） 2

6、直线的平移：所谓平移，就是将一条直线向左、向右（或向上，向下）平行移动，平移得到的直线k不变，直线沿y轴平移多少个单位，可由公式︱b1－b2︱得到，其中b1，b2是两直线与y轴交点的纵坐标，直线沿x轴平移多少个单位，可由公式︱x1－x2︱求得，其中x1，x2是由两直线与x轴交点的横坐标。

7、直线y=kx+b(k≠0)与方程、不等式的联系

（1）一条直线y=kx+b(k≠0)就是一个关于y的二元一次方程 （2）求两直线l1:y=k1x+b1(k1≠0)，l

y=k1x+b1 y=k2x+b2

(3)若y>0则kx+b>0。若y

(4)一元一次不等式，y1≤kx+b≤y2( y1，y2都是已知数，且y1

（5）一元一次不等式kx+b≤y0(或kx+b≥y0)( y0为已知数)的解集就是直线y=kx+b上满足y≤y0(或y≥y0)那条射线所对应的自变量的取范围。 8、确定正比例函数与一次函数的解析式应具备的条件

（1）由于比例函数y=kx(k≠0)中只有一个待定系数k，故只要一个条件（如一对x,y的值或一个点）就可求得k的值。

(2) 一次函数y=kx+b中有两个待定系数k,b，需要两个独立的条件确定两个关于k,b的方程，求得k,b的值，这两个条件通常是两个点，或两对x,y的值。 9、反比例函数

(1) 反比例函数及其图象 如果y

2

:y=k2x+b2(k2≠0)的交点，就是解关于x，y的方程组

k

(k是常数,k0),那么，y是x的反比例函数。 x

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质

当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y随x的增大而减小；

当K

(3)由于比例函数y

k

(k是常数,k0)中只有一个待定系数k，故只要一个条件（如一对x,yx

的值或一个点）就可求得k的值。 １、函数y

2

中，自变量x的取值范围为 .

2x4

3、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= 。

4、已知点A（3，m）与点B（n，-2）关于y轴对称，则m= ，n= . 5、点 P（3，－4）关于X轴对称的点是__________。

6、一次函数y= -2x+4的图象与x轴交点坐标是 ，与y轴交点坐标是 , 图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .

7、将直线 y＝3x + 4 向下平移6个单位，得到直线________________。 8、点 P（a，a－2）在第三象限，则 a 的取值范围是___ _ .

9、已知y-2与x成反比例，当x=3时，y=1，则y与x间的函数关系式为 ； 10、 设有反比例函数y

k1

，若x时，y(x1,y(x2,y0x1)、2)为其图象上的两点，121y2，x

则k的取值范围是___________

11、已知点P在第二、四象限夹角的平分线上，且到y轴的距离为42，则点P的坐标为_________________。 12.

函数y

x的取值范围是 ( )

A. x 1 D. x ≥1

13.若点在第二象限，且到轴的距离分别为4，3，则点的坐标为（ ） A、（4，－3）

B、（3，－4）

C、（－3，

4） D、（－4，3）

14．点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为（ ） A、（－1，2） 1）

15. 一次函数y=－2x+3的图像不经过的象限是A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象16．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的

（ ）. 限

路程为300

B、（－1，－2） C、（1，－2）

D、（2，－

米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米)与登山所用的时间t（分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（ ） A．爸爸登山时，小军已走了50米 B．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面 C．小军比爸爸晚到山顶

D．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快 17、如果反比例函数y

k

x

的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（ ） A、第一、三象限 B、第一、二象限 C、第二、四象限 D、第三、四象限 18、若反比例函数y(2m1)xm2

2

的图像在第二、四象限，则m的值是（ ）

A、－1或1 B、小于

1

2

的任意实数 C、－1 Ｄ、不能确定 19、正比例函数ykx- k例函数

yk

在同一坐标系内的图象为（ ）

20、如右图，A为反比例函数yk

x

图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB＝3，则k的值为（ ） A、6 B、3 C、3

2

D、不能确定

21、已知反比例函数y

12

x

的图象和一次函数ykx7的图象都经过点m,2。 ⑴求这个一次函数的解析式；⑵如图，梯形ABCD的顶点A、B在

这个一次函数的图象上，顶点C、D在已知反比例函数的图象上，两底

AD、BC与y轴平行，且点A、B的横坐标分别为2和4，求梯形ABCD的

面积。

22、如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴和y轴上，且点A的坐标为4,0，点C的坐标为

0,2，点P在线段CB上，距离y轴3个单位，有一直线ykxbk0经过点P，且把矩形OABC

分成两部分。

⑴若直线又经过x轴上一点D，且把矩形OABC分成的两部分面积相等，求k和b的值；

29，求点Q坐标。

⑵若直线又经过线段AB上一点Q，且把矩形OABC分成的两部分的面积比为3：

23、 如图所示，直线PA是一次函数y=x+n(n>0)的图象，直线PB是一次函数y=-2x+m(m>n)的图象

（1）用m,n表示A，B，P的坐标

（2）若点D是PA与y轴的交点，且四边形PDOB的面积是AB＝2，试求P点坐标并写出直线PA·PB的解析式

24、已知：如图，在平面直角坐标系xoy中，A、B两点的坐标分别为A（12，0）、B（0，9）若点N在直线AB上，且SBON：SBOA＝1：3,求直线ON的解析式。

5

，6

25.已知反比例函数y=

k

和一次函数y=2x－1，其中一次函数的图象经过（a，b），（a+1，b+k）两2x

点。（1）求反比例函数的解析式

（2）如图，已知点A在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求A点的坐标。

（3）利用（2）的结果，请问：在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，把符合条件的P点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

26．如图，直线y＝

1

x＋2分别交x、y轴于点A、C，P是该直线上在第一象限内的一点，PB⊥x2

轴，B为垂足，S△ABP＝9．

（1）求点P的坐标；

（2）设点R与点P的同一个反比例函数的图象上，且点R在直线PB的右侧，作RT⊥x轴，T为垂足，当△BRT与△AOC相似时，求点R的坐标.

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