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数的几何
geometry of number
又称几何数论，应用几何方法研究某些数论问题的一个数论分支。它的一类典型问题为：设 (1,2,…,)是实变量1,2, …, 的实值函数，对于适当选取的整数1,2,…，｜(1,2,…)｜的值能有多小？例如,设[586-4]是一个正定二次型，用数的几何方法可以证明，存在不全为零的整数1,2，使得
[586-5]，这是最佳结果，其中[586-6]是型的判别式。
17～18世纪间,J.-L.拉格朗日和C.F.高斯等就已开始以几何观点研究二次型的算术性质。1891年，H.闵科夫斯基发表了数的几何第一篇论文，并于1896年出版了《数的几何学》一书。从此，数的几何成为数论的一个独立分支。
数的几何是研究丢番图逼近、代数数论的重要工具。
用表示维实欧几里得空间，如果[586-7][586-7-1]的所有坐标都是整数，那么称为一个(维)整点或格点。全体维整点的集合记作Λ0。设点集，[2kg][2kg]是一个实数，把所有形如[586-x]([kg2][kg2])的点组成的集记为[586-r]。如果=-，亦即若[kg2][kg2]，则-[kg2][kg2]，那么称为关于原点对称，或简称为对称。如果当含有、时必含有连接、的线段,亦即含有一切形如(1-)+(0≤[2KG]≤1)的点，则称为凸集。关于原点对称的凸集，称为对称凸集。
一个重要的对称凸集，是由以下的一组实线性型定义的：
[586-8]式中1,2,…,是正实数,det()≠0。这是一个有界集,其体积是[586-9]。如果()中全是“≤”，那么它就定义了一个闭集。
闵科夫斯基研究了对称凸集的基本性质，获得数的几何第一基本定理：如果是体积为()（可能为无穷）的对称凸集，且[2kg]()≥2, 那么在中或其边界上必有一个非零整点。
这个定理应用于集(),得到著名的闵科夫斯基线性型定理：如果正实数1，2，…，适合12 … ≥｜det()｜,那么存在不同时为零的整数1,2,…,,满足不等式组
[587-1]。
由此定理可以导出丢番图逼近的一系列结果。例如，对于个实数1，2，…,，若其中至少有一个无理数，则有无穷多组(1/,2/，…,/)适合[587-2][587-2-1]。此外，上述定理还可用于解决代数数域的基数问题。
有时，需要考虑中含有多少个线性无关的整点。设是闭的对称凸集,0()[kg2][kg2],定义距离函数[587-4]，若右式不存在，则令()=∞于是0≤()≤∞,([2kg][2kg])=[2kg][2kg]()(当[2kg]>0),并且[586-r]={｜()≤[2kg][2kg]}([2kg][2kg]≥0)。对于集()（其中全取“≤”），[587-5]。
由[2kg]()的性质可知，对每个(1≤≤，存在最小的[2kg]=，使[587-00]含有个线性无关的整点。[2kg]称为的第个相继极小，亦即
[587-6]，于是存在整点m,m,…,m适合
[587-7]，
[587-8]线性无关｝(≥2)。
例如,对于超立方体｜｜≤1(1≤[2kg]≤),[2kg]=1(=1,2,…,),m可取作单位矢(0,…，0，1，0，…，0)。
显然，[587-9]，由闵科夫斯基关于数的几何第一基本定理可知，[587-10]。
闵科夫斯基进而得到数的几何第二基本定理：设是闭的对称凸集，0(),,…,[2kg]适合不等式
[587-11]。
这个定理在数论中有不少有趣而重要的应用，例如，W.M.施密特用它为主要工具解决了实代数数联立有理逼近问题。
参考书目
J.W.S.Cassels, An Introduction to the Geometry of Number,Springer-Verlag,Berlin,1959.
朱尧辰
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