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二. 教学目的：
1、巩固不等式的基本性质、拓展基本不等式相关知识；
2、掌握一元一次不等式、一元二次不等式及绝对值不等式的解法
三. 教学重点、难点
基本不等式的知识拓展；绝对值不等式的解法
四. 知识分析
【不等式的基本性质】
1、不等式的基本性质：对于任意的实数a，b，有，这三条基本性质是差值比较法的理论依据．
2、不等式的性质包括“单向性”和“双向性”两个方面．
【单向性】
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
【双向性】
（1）
（2）
（3）
单向性主要用于证明不等式；双向性是解不等式的基础（当然也可用于证明不等式），由于单向性（3）、（4）的逆命题都成立，所以它们也可用于解不等式，在应用单向性（6）解无理不等式和形如的高次不等式时，若n为偶数时要注意讨论．
3、要注意不等式性质成立的条件．例如，在应用“”这一性质时，有些同学要么是弱化了条件，得，要么是强化了条件，而得
【基本不等式】
定理1 设，则，当且仅当时，等号成立。
定理2 如果a，b为正数，则，当且仅当时，等号成立。
定理3 如果a，b，c为正数，则，当且仅当时，等号成立。
定理4 （一般形式的算术—几何平均值不等式）如果，，…，为n个正数，则，并且当且仅当时，等号成立。
说明：在公式及的学习中，应注意几点：
（1）和成立的条件是不同的，前者只要求a，b都是实数，而后者要求a，b都为正数。例如，成立，而不成立。
（2）关于不等式及的含义。
或表示严格的不等式；
或表示非严格的不等式。
不等式“”读作c大于或等于d，其含义是“或者，或者”，等价于“c不小于d”，即若或有一个正确，则正确。
不等式“”读作c小于或等于d，其含义是“，或者”，等价于“c不大于d”，即若或c=d中有一个正确，则正确。
（3）这两个公式都是带有等号的不等式，因此，对定理“当时，当且仅当时等号成立”的含义要搞清楚，它的含义是：
当时，，
当时，；
当时，，
当时，。
对基本不等式：a，b为正数，则当且仅当时等号成立，作类似理解。
定理1~定理4的不等式中，都给出了等号成立的充分必要条件，这些条件为解决某些有关优化的极值问题提供了理论基础，因此定理中等号成立的条件要求掌握。
【不等式的解法】
1. 一元一次不等式
通过同解变形，一元一次不等式可化为：，
若，则其解集为。
若，则其解集为。
若；，解集为R；时，解集为。
2. 一元二次不等式
通过同解变形，一元二次不等式可化为：或。
不妨设方程的两根为、且。
（1）若，则的解集为，的解集为。
（2）若，不等式的解集为，不等式的解集为。
（3）当，则不等式的解集为R，不等式的解集为。
3. 高次不等式
高次不等式通过同解变形可化为：或（）。
不妨设，运用图像法可求解。
用表示每个因式的符号及符号的图像，可决定或的解集。
如图所示，时，的符号均为正，从而，所以是>0的解。依此可求出不等式0或的解集。
4. 分式不等式
（1）。
（2）。
（3）
（4）。
5. 含有绝对值的不等式的主要类型及解法：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）。
【典型例题】
例1. 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假。
（1）若，则；
（2）若，则；
（3）若，则；
（4）若，则；
（5）若，则。
解析：（1）因未知c的正负或是否为零，无法确定ac与bc的大小，所以是假命题。
（2）因为，所以只有时才能正确，时，，所以是假命题。
变式：若，则，命题是真命题。
（3），，，，命题是真命题。
（4）由性质定理，命题是假命题。
（5）例如，命题是假命题。
。
点评：不等式的性质是证明不等式和解不等式的理论基础，必须熟练掌握，还要注意不等式性质定理中的条件是否为充要条件，不能用充分不必要条件的性质定理解不等式。
例2. 实数a、b、c、d满足下列三个条件：
①；②；③。
请将a、b、c、d按照从大到小的次序排列，并证明你的结论。
思路：本题条件较多，从何入手？如果两两比较，一般需要进行次，但如果能找到一个合理的程序，则可减少解题的层次。
解析：
由式①得。
点评：由于找到了一个合理程序，上面的解法没有浪费一点笔墨，干净利落。
例3. （1）若，试比较与的大小；
（2）设，且，试比较与的大小。
思路：根据题目的结构特点，可考虑用差值比较法。
解析：
。
∵，
∴，，
∴，
∴
（2）根据同底数幂的运算法则，可考虑用比值比较法。
，。
当时，，，
则，于是。
当时，，，
则，
于是。
综上所述，对于不相等的正数a、b，都有。
点评：实数大小的比较问题常常利用不等式的基本性质或“，且”来解决，比较法的关键是第二步的变形，一般来说，变形越彻底，越有利于下一步的判断。
例4. 设，且，，求的取值范围。
思路：因为，，而，；又与中的a、b不是独立的，而是相互制约的，因此，若将用和表示，则问题得解。
解析：设（m、n为待定系数），则，
即，
于是，得解得，
∴
∵，，
∴，
故。
以上解题过程简化如下：
由得
∴。
点评：严格依据不等式的基本性质和运算法则，是正确解答此类题目的保证。
例5. 已知a、b、c，求证：
（1）；
（2）；
思路：由不等式两边的结构特点，我们联想到重要不等式及变形不等式；，故可运用它们进行证明。
证明：（1）∵，
∴，
同理，。
三式相加得
。
（2）∵，，，
∴，
即。
又，，，
∴，
即。
点评：证明不等式时应根据求证式二端的结构，合理选择重要不等式及其变形不等式；本题的证明方法在证轮换对称不等式时具有一定的普遍性。
例6. 某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，试算：
（1）仓库面积S的最大允许值是多少？
（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解析：用字母分别表示铁栅长和一堵砖墙长，再由题意得出数量关系。
设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，则有。
由题意得（*）
应用二元均值不等式，得
。
∴，即。
∵，∴，从而。
因此S最大允许值是100，取得此最大值的条件是而，由此求得，即铁栅的长应是15米。
点评：本题也可将代入（*），导出关于x的二次方程，利用判别式法求解。
例7. 解下列不等式：
（1）；（2）。
思路：按一元高次不等式和分式不等式的解法求解。
解析：（1）解法一：∵，
∴由，得，但时，符合题意，故原不等式的解集为：。
解法二：原不等式变形为：，利用数轴标根法，画出图示如下图所示：
∴原不等式的解集为：
。
（2）移项整理，将原不等式化为
。
∵0恒成立。
∴原不等式等价于。
解之，得原不等式的解集为。
点评：（1）采用列表法和数轴标根法没有什么本质区别，但用后者更简捷，要注意平方因式，如的特点。
（2）第（2）题需移项通分，经因式分解变形，对出现的二次式注意是否有实根，以便分析不等式是否有解，从而使求解过程科学合理。另外，此题也可用数轴标根法求解，解分式不等式时，注意分母不能为零。
例8. 解下列不等式：
（1）；（2）。
思路：按解绝对值不等式的方法求解。
解析：（1）解法一：原不等式等价于或
∴原不等式的解集为。
解法二：∵，
而，
∴，故原不等式等价于
。
∴原不等式的解集为。
（2）
或。
点评：（1）若中的的值的范围可确定（包括恒正或恒非负，恒负或恒非正），就可直接脱掉绝对值符号，从而简化解题过程。
（2）（2）小题也可将原不等式转化为求解，但过程较繁，不如上面的解法简捷。
例9. 求不等式的解集。
思路：由于绝对值符号里含有对数式，故先求出对数函数的定义域，然后再脱掉绝对值符号进行求解。
解析：因为对数必须有意义，所以先解不等式组解得。
又原不等式可化为。
（1）当时，不等式化为，
∴，
∴，结合前提条件，得。
（2）当时，即，
∴，∴。
（3）当时，，
∴，
∴，结合前提条件，得。
综合得原不等式的解集为
点评：“零点分区间”的方法是解绝对值不等式最基本的方法，注意熟练掌握，另外注意，原不等式的解集是各区间解集的并集。
【模拟试题】
1. 若a、b是任意实数，且，则
A. B. C. 0 D.
2. 若，则
A. B.
C. D.
3. 设a、b是两个实数，给出下列条件：①；②；③；④；⑤，其中能推出“a，b中至少有一个数大于1”的条件是
A. ②③ B. ①②③ C. ③④⑤ D. ③
4. 设a、b，若，则的最小值等于
A. 1 B. 3 C. 2 D. 4
5. 若关于x的不等式的解集是，则a的值为
A. 2 B. –2 C. D.
6. 若不等式对一切恒成立，那么实数a的取值范围是
A. B. C. D.
7. 不等式的解集是
A. B.
C. D.
8. 已知三个不等式①，②，③，以其中两个做条件，余下一个做结论，则可以组成__________个正确命题。
9. 已知，则与的大小关系是___________。
10. 如果只有一个实数满足，则a=___________。
11. 已知，，，则m、n的大小关系是___________。
12. 已知a、b，并且，求证：。
13. 有一种变压器，铁芯的截面呈正十字形，如图所示，为了保证所需的磁通量，需要一定的截面积，如果要求正十字的面积为，应如何设计正十字形的长y与宽x，才能使正十字形的外接圆周长最短（从而可使用来绕铁芯的铜线最省）？
14. 已知不等式的解集为，
（1）求a、b的值。
（2）解不等式，。
15. 若a，b，、是方程的两根，且，求证：，且。
【试题答案】
1. D 2. B 3. D 4. C 5. B 6. D 7. B
8. 3 9. 10. 11.
12. 证明：作差
，
因为a、b，且，
∴，，，均为正数。
∴。
13. 解析：首先，∴，
即
。
当即时，，直径最短，从而最省铜线。
14. 解析：（1）由题设，方程的两根为1，b。根据韦达定理，解得。
即所求，。
（2）原不等式即为，
当时，
解得。
当时，
。
∵△=9-16<0，
∴不等式的解集为。
综上所述，当时，
原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为。
15. 证明：由韦达定理，得
∵，
∴。
∵，
∴，即。
∵，
∴，同理可证：。
