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2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学试题（理工农医类）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的
要求的.
1.已知复数z的共轭复数z?1?2i（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知集合“A?B”是的（） “a?3”A??1,a?，B??1,2,3?，则
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
x2
3.双曲线?y2?1的顶点到渐进线的距离等于（ ） 4
24254A. 5 B.5 C. D. 55
4.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩
分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，
得到如图所示的频率分布直方图。已知高一年级共有学生600名，
据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（ ）
A.588 B.480 C.450 D.120
5.满足a,b???1,0,1,2?，且关于x的方程ax2?2x?b?0有实数解的有序数对的
个数为（ ）
A. 14 B. 13 C. 12 D. 10
6.阅读如图所示的程序框图，若编入的k
A. 计算数列
C. 计算数列n?1?10，则该算法的功能是（ ） n?1?2?的前10项和 B.计算数列?2?的前9项和 ?2-1?的前10项和 D. 计算数列?2-1?的前9项和 nn
7. 在四边形ABCD中，
A.?(1,2)，?(?4,2),则该四边形的面积为（ ） B.25 C.5 D.10 ks5u
8. 设函数f(x)的定义域为R，x0?x0?0?是f(x)的极大值点，以下结论
一定正确的是（）
A. ?x?R,
C. f(x)?f(x0) B.?x0是f(-x)的极小值点 ?x0是-f(x)的极小值点 D.?x0是-f(-x)的极小值点 ks5u
9. 已知等比数列?an?的公比为q，记bn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?????am(n?1)?m，bn?am(n?1)?1?am(n?1)?2?????am(n?1)?m，?m,n?N*?，则以下结论一定正确的是（ ）
A. 数列
C. 数列?bn?为等差数列，公差为qm B. 数列?bn?为等比数列，公比为q2m ?cn?为等比数列，公比为qm2 D. 数列?cn?为等比数列，公比为qmm
10. 设S,T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y?f(x)满足：(i)T??f(x)x?S?；
，以下集合(ii)对任意x1,x2?S，当x1?x2时，恒有f(x1)?f(x2)，那么称这两个集合“保序同构”
对不是“保序同构”的是（ ）
A.
C. A?N*,B?N B. A??x?1?x?3?,B??xx??8或0?x?10? A??x0?x?1?,B?R D. A?Z,B?Q
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填写在答题卡的相应位置.
11. 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件‘3a?1?0’的概率为
_________
12. 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视
图、
俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球
的表面积是
13. 如图，在?ABC中，已知点D在BC边上，AD?则BD的长为
AC,sin?BAC?22,AB?32, AD?3, 3
x2y2
14. 椭圆?:2?2?1?a?b?0?的左右焦点分别为F1,F2,焦距为2c，若直线y?3?x?c?ab
与椭圆的一个交点满足?MF1F2?2?MF2F1,则该椭圆的离心率等于
_____
15. 当x?R,
1?x?x2x?1时，有如下表达式： ?????xn?????
11
21dx?2
001 1?x两边同时积分得：??xdx??120xdx????2?120xdx?????n?12101?xdx
从而得到如下等式：
11111111???()2??()3??????()n?1?????ln2. ks5u 22232n?12
请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
111121213110nCn??Cn?()?Cn?()?????Cn?()n?1?22232n?12
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.（本小题满分13分）
某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为
方案乙的中奖率为2，中奖可以获得2分；32，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖5
与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。
（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,求X?3的概率；
（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？
17.（本小题满分13分）
已知函数f(x)?x?alnx(a?R)
y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程； （1）当a?2时，求曲线
（2）求函数f(x)的极值
18.（本小题满分13分）
如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为
点C的坐标为?10,0?， ?0,10?，分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为
A1,A2,???,A9和B1,B2,???,B9，连接OBi，过Ai作x轴的垂线与OBi
交于点Pi?i?N*,1?i?9?。ks5u
（1）求证：点Pi?i?N*,1?i?9?都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程；
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M,N, 若?OCM与?OCN的面积之比为4:1，求直线l的方程。
19.（本小题满分13分）ks5u
如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，侧棱AA1?底面ABCD,
AB//DC,AA1?1,AB?3k,AD?4k,BC?5k,DC?6k,(k?0)
（1）求证：CD?平面
（2）若直线ADD1A1 6AA1与平面AB1C所成角的正弦值为，求k的值 7
（3）现将与四棱柱ABCD?A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为
20.（本小题满分14分）
已知函数（直接写出答案，不必说明理由） f(k)，写出f(k)的解析式。f(x)?sin(wx??)(w?0,0????)的周期为?，图象的一个对???,0?，将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵4??称中心为?
坐标不变），再将得到的图象向右平移个
（1）求函数?2单位长度后得到函数g(x)的图象。 f(x)与g(x)的解析式
????,?，使得f(x0),g(x0),f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确64??（2）是否存在x0??
定x0的个数，若不存在，说明理由；
（3）求实数a与正整数n，使得F(x)?
恰有2013个零点
21. 本小题设有(1)、(2)、(3)三个选考题，每题7分，请考生任选2题作
答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.
(1). (本小题满分7分) 选修4-2：矩阵与变换 f(x)?ag(x)在?0,n??内
已知直线l:ax?y?1在矩阵A?(12)对应的变换作用下变为直线l
':x?by?1 01
（I）求实数a,b的值
（II）若点P(x0,y0)在直线l上，且A???x0??x0??????y??，求点P的坐标 y?0??0?
(2).(本小题满分7分) 选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为???2,??
4??，直线l的极坐标方程为?cos(???
4)?a，且点A在直线l上。
（Ⅰ）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（Ⅱ）圆C的参数方程为??x?1?cosa,
?y?sina(a为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系.
(3).(本小题满分7分) 选修4-5：不等式选讲
设不等式x?2?a(a?N*)的解集为A,且3
2?A,1
2?A
（Ⅰ）求a的值
（Ⅱ）求函数f(x)?x?a?x?2的最小值
