爱华网角的概念与任意角的三角函数、同角三角函数关系式与诱导公式
二. 本周教学重、难点：
1. 理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算；掌握任意角的正弦、余弦、正切、余切的概念；了解余切、正割、余割的定义。
2. 掌握同角三角函数关系的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式。
【典型例题】
[例1] 角的顶点与坐标原点O重合，其始边与轴的正半轴重合。
（1）若角的终边上有一点P（）（）求；
（2）已知角的终边上一点P的坐标为（）（）且，求。
解：（1） 因为
所以当时，点P在第四象限
当时，点P在第二象限
（2）
由，所以
所以当时，，
当时，，
[例2] 已知一扇形的中心角是，所在圆的半径是R，（1）若，R=，求扇形的弧长交该弧所在的弓形面积。（2）若扇形的周长是一定值，当为多少弧度时，该扇形有最大面积？
解：（1）设弧长为，弓形面积为，因为，R=10，所以
（2）因为扇形周长，所以，
所以
所以当且仅当，即（舍去）时，扇形面积有最大值
[例3] 设，，求
的值。
解：∵ ∴ ∵
∴
同理，
∴ 原式
[例4] 如图所示，动点P、Q从点（4，0）出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P、Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P、Q点各自走过的弧长。
解：设P、Q第一次相遇时所用的时间是，则
所以（秒），即第一次相遇的时间为4秒
设第一次相遇点为C，第一次相遇时P点已运动到终边在的位置
则，
所以C点的坐标为（），P点走过的弧长为，Q点走过的弧长为。
[例5]（1）若，求值① ；②
（2）求值。
解：（1）① 原式
② ∵
∴ 原式
（2）∵
又 ∵
∴ 原式
[例6] 已知对于任意实数，均有，与成立，当时，有，求的值。
解：∵ ∴
∴
∴
∴
∴
∴
[例7] 已知，，，，求与的值。
解：∵ ∴
∴
∴ ∴
∴ ∴ ∵ ∴
∵ 或 当时，
∴ ∴ 或，当时，有同样的结果
∴ 或，或
[例8] 已知
（1）求的值；
（2）求的值。
解：（1）由，，得
∴
（2）由（1）知
∴
[例9] 已知关于的方程的两根为，求：
（1）的值
（2）的值
（3）方程的两根及此时的值
解：
（1）
（2）①式两边平方： ∴
由②： ∴
（3）当时，原方程变为
∴
∴ 或 ∵ ∴ 或
[例10] 已知的面积S满足，且，与的夹角为
（1）求的取值范围；（2）求函数的最小值。
解：（1）①
②
： 即
由 ∴ ∴
又为与的夹角 ∴ ∴
（2）
∵ ∴
∴ 即时，的最小值为3
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 若角的终边与直线重合，且，又P（m，n）是角终边上一点，且，则等于（ ）
A. B. C. 2 D. 4
2. 若为第三象限的角，那么的值（ ）
A. 大于零 B. 小于零 C. 等于零 D. 不确定
3. 已知为第三象限角，则所在的象限是（ ）
A. 第一或第二象限 B. 第二或第三象限
C. 第一或第三象限 D. 第二或第四象限
4. 对任意的锐角，下列不等关系中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 若实数满足，则的值等于（ ）
A. B. C. 11 D. 9
6. 已知函数（为非零实数），且满足，则的值为（ ）
A. 6 B. 3 C. 2 D. 不确定
7. 已知，那么的值为（ ）
A. 6 B. 4 C. 2 D. 0
8. 若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
二. 解析题：
1. 设，且不在同一象限，求的值。
2. 已知。
（1）求的值；
（2）求的值。
3.（1）已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的中心角；（2）已知扇形周长为40，当它的半径和中心角取何值时，才使扇形面积最大？
4. 已知是方程的两个根中较小的根，求的值。
【试题答案】
一.
1. C
解析：由，知角的终边在第三或第四象限或轴的负半轴上，而直线在第一、三象限。
故角的终边在第三象限 ∴
又 ∵ 在直线上 ∴
同时，，可得
由，解得或（舍），故
2. B
解析：为第三象限的角，∴ ，而，，故其值小于零。
3. D
解析：特殊值法，取或，则或
4. D
解析：若，，则可淘汰A、B；若，则可淘汰C。
5. C
解析：∵ ∴ ∴
∴
6. C
解析：由已知条件得
∴
7. B
解析：∵ ∴
∴ 解得或（舍去）
由，得 ∴
8. B
解析：
二.
1. 解析：（1）当在第一象限，在第二象限时，（），（），则有，
（2）当在第一象限，在第三象限时，，
，则有
（3）当在第二象限，在第三象限时，，
，则有
综上，得
2. 解析：（1），平方得
整理得 ∵
又 ∵ ∴
故
（2）
3. 解析：（1）设中心角是，半径是
则或4，故或
（2）设中心角是，半径是，则
当且仅当，即时，
∴ 当时，扇形面积最大。
4. 解析：∵ 是方程的较小根 ∴ 方程的较大根是
∵ 即
∴ 解得或，
当时，，
当时，，，不合题意
∴ ，
