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力迫方法
forcing method
一种构造公理系统的模型的方法由P.J.科恩于1963年为证明连续统假设的否定[444-01] 与ZF 相协调而提出，当时证明了[444-02] 及[444-021][444-022]等,其后D.S.斯科特及R.M.索洛韦发展了布尔值模型处理方法。J.R.休恩菲尔德认识到斯科特及索洛韦的构造可以直接用偏序集而不必嵌入一完全布尔代数，流行的是休恩菲尔德的既具一般性又与科恩的思想比较接近的处理方法。
给定一个 ZFC的可数可传模型。想象一个外来物，把 加到 上扩充成一个可数可传的[]，使得[]ZFC，[],[kg1][kg1][],而且[]是具有这三条性质的最小的。在某种意义下,[]中的个体是可以由[kg1]经过在中可定义的集论过程得到的[]中的每一个体在中就能讨论，知道[kg1]后,就知道[]的每一元。一般的情况下,但是可以用中的元素迫近。
为了在中能讨论[]，给出一个有很多常量的新语言:令为一偏序集,[kg1][kg1],[444-jfz3]ZFC（ctm表示可数可传模型）；定义-标号，然后令｛[kg1][kg1]｜是- 标号}这些[kg1][kg1][kg2]可看作形式符号。把原来的语言={[kg1][kg1]}拓展成={:[kg1][kg1]}。这样的一个 叫做一个力迫概念，叫做力迫语言,中的元素叫做力迫条件。两个条件,,在偏序≤下,≤称作比强（此处由于历史因素造成了符号运用的倒置）。一个，若是非空滤子，而且跟每一在中的稠密子集有交，则称为在上-脱殊的。给定一个，不论[kg1][kg1]与否,可以定义一赋值,使每一[kg1][kg1]都有一解释。把所有新常量的－解释收集起来成为语言的一个结构[]{:[kg1][kg1]}对一句子,就是[]的一个断言，其真假视 而定。对[kg1][kg1],是一句子，定义（读作力迫）如下：
[445-01]若[444-jfz3]ZFC，是中的一偏序集,[kg1][kg1]，则总有含有的、在上-脱殊的，而且当是在上-脱殊的时候,上面所定义的[]ZFC，[]≥，[kg1][]。这样就从一个模型,扩张成另一个模型。应用不同的偏序集，可以得到一些附加公理（假设）在 []中成立。相对协调性结果就可如此样得到。利用这种方法得到的相对协调性结果的数目已经相当可观了。
力迫方法的很多工作，包括上面那个主定理的证明都用到下面三条引理。
① 可定义性引理 上述的定义不是能行的可用递归定义法得到 ,使给定，(),()对应于中一公式，而且()(())。
② 真理引理 对每一在 上 - 脱殊的 ，[]=[][kg1][kg1](())。
③ 稠密引理 对任一一语句(),对每一[kg1][kg1]，都有一比强的条件,或力迫()，或力迫()。
以上是力迫的理论。如果想要一个满足 [445-18]的模型,就想象一个从到（）的满射。中元素就是这个未知函数的一些可数迫切。自然令[445-17][445-15]这个在中可定义， [kg1][kg1]。用[445-99]作偏序≤，因此任一在上-脱殊的是一相容函数集, 而且是 到()的满射 此处 是在中看到的第一个不可数基数,()是中看到的全体的子集。可以由的性质，证明在[]中没有多出的子集来，尽管[]确比大。而且可以证明, 在[][kg2]中扮演着第一个不可数基数的角色的序数，就是刚才的 ，所以[]中的函数（亦即原来的未知函数 ）, 就见证了有一函数，从[]认为是第一个不可数的基数，到[]认为是的全体子集上。即[]（是 到()上的函数）从而[][445-16]，即[]CH。这不等于构造了一个CH的模型，而是由一个ZFC的可数可传模型，得出一个2FC+CH的可数可传模型[]。
如果取 ={ [kg1][kg1]|||∧是函数∧dom ×∧range{0，1}}，用[445-99]作≤，得到的扩张[]中至少有个从到{0,1}的函数。从而[]ZFC+CH。
为了使在原来的[kg1]中作为基数的序数到了[]中保持不变，要对力迫概念,也就是偏序集,加上限制。在这个理论的发源期就提出来的有链条件和闭性质等，随着力迫理论方面的突破即迭代力迫的创立，以及J.鲍姆格特纳和S.谢拉赫等的正常力迫法的工作即除了又有许多命题的相对和谐性得到证明之外，提出来的相应的条件又促进了组合集论的发展。
胡静婉
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