爱华网2012年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）
理科数学
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）.
1、集合M?{x|lgx?0}，N?{x|x2?4}，则M?N?（ ）
B．[1,2) C．(1,2] D．[1,2] A．（1，2）
2、下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ）
A．y?x?1 B．y??x3 C．y?1 D．y?x|x| x
b为纯虚数”的（ ） i3、设a，b?R，i是虚数单位，则“ab A．充分不必要条件 ?0”是“复数a? B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4、已知圆C：x2?y2?4x?0，l是过点P（3，0）的直线，则（ ）
D．以上三个选项均有可能 A．l与C相交 B．l与C相切 C．l与C相离
5、如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC?
线AB夹角的余弦值为（ ） 1
A．A1B1C1，CA?CC1?2CB，则直线BC1与直3552 B． C． D． 5535
6、从甲乙两个城市分别随机抽取16台自动售货机，对其销售额进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示）.设甲乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，中位数分别为m甲，m乙，则( )
A．x甲
B．x甲
C．x甲
D．x甲
7、设函数
A．x?x乙，m甲?m乙 ?x乙，m甲?m乙 ?x乙 ，m甲?m乙 ?x乙，m甲?m乙 f(x)?xex，则（ ） ?1为f(x)的极大值点 B．x?1为f(x)的极小值点
C．x??1为f(x)的极大值点 D. x??1为f(x)的极小值点
8、两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形（各人输赢局次的不同视为不同情形）共有( )
A．10种 B．15种 C．20种 D．30种
29、在△ABC中，角A,B,C所对的边长分别为a，b，c，若a
值为（ ）
A．?b2?2c2，则cosC的最小1132 B． C． D．? 2222
10、右图是用模拟方法估计圆周率?值的程序框图，P表示估计
结果，则图中空白框内应填入（ ）
N4NA．P? B．P? 10001000
M4M C．P? D．P? 10001000
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）
11、观察下列不等式
1?13? 222
1?115?2? 2233
11171?2?2?2? 2344
??????
照此规律，第五个不等式为________________________________. ．．．
12、(a?x)的展开式中x的系数为10，则实数a的值为_____.
13、右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米.水位下降1米后，水面宽______米.
14、设函数52?lnx,x?0,D是由x轴和曲线y?f(x)及该曲线在点（1，0）处的切线f(x)????2x?1,x?0,
所围成的封闭区域，则z?x?2y在D上的最大值为___ _.
15、（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A.（不等式选做题）若存在实数x使|x?a|?|x?1|?3成立，则实数a的取值范围
是__________________.
B.（几何证明选做题）如图，在圆O中，直径AB与弦CD垂直，垂足为E，
EF?DB，垂足为F，若AB?6，AE?1，则DF?DB?_______.
C.（坐标系与参数方程选做题）直线2?cos??1与圆??2cos?相交的弦长为___.
三．解答题：（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）。
16、(本小题满分12分)函数f(x)?Asin(?x?)?1（A?0，??0）的最大值为3，其图像6?
相邻两条对称轴之间的距离为
（Ⅰ）求函数?. 2f(x)的解析式； （Ⅱ）设??(0,
?)，f()?2，求?的值. 22?
17、(本小题满分12分)
设{an}是公比不为1的等比数列，其前n项和为Sn，且a5,a3,a4成等差数列.
（Ⅰ）求数列{an}的公比；
（Ⅱ）证明：对任意k?N?，Sk?2，Sk，Sk?1成等差数列.
18、(本小题满分12分)
（Ⅰ）如图，证明命题“a是平面?内的一条直线，b是?外的一条直线（b不垂直于?），c是直线b在?上的投影，若a?b，则a?c”为真；
（Ⅱ）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需证明）.
19、(本小题满分12分) x2
已知椭圆C1：?y2?1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率. 4
（Ⅰ)求椭圆C2的方程.
（Ⅱ）设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，?2，求直
线AB的方程.
20、(本小题满分13分)
某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间相互独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下：
从第一个顾客办理业务时计时.
（Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；
（Ⅱ）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望.
21、(本小题满分14分)
设函数fn(x)?xn?bx?c（n?N?，b，c?R）
?1，c??1，证明：fn(x)在区间（（Ⅰ)设n?2，b1，1）内存在唯一零点； 2
（Ⅱ）设n?2，若对任意x1，x2?[?1,1]，有|
（Ⅲ）在（Ⅰ)的条件下，设xn是
减性. f2(x1)?f2(x2)|?4，求b的取值范围； fn(x)在（1，1）内的零点，判断数列x2，x3， ?，xn，?的增2
2012年陕西省高考理科数学试题答案
一、选择题
1. 【解析】M?xx?1，N?x?2?x?2，则M?N?x?x?2，故选C
2. 【解析】选项中是奇函数的有B、C、D，增函数有A、D，故选D
3. 【解析】“ab?0”则a?0或b?0，“复数a?
则“ab?0”是“复数a???????b为纯虚数”则a?0且b?0， ib为纯虚数”的必要不充分条件，故选B i
4. 【解析】点P(3,0)在圆内，则l必与C相交，故选A
5. 【解析】设CB?1，则AB1???2,2,1?，BC1??0,2,?1?，
则cos?AB1,BC1???，故选A 5
6. 【解析】经计算得：x甲=21.5625，x乙=28.5625，m甲=20，m乙=29，故选B
x7. 【解析】f(x)?xex，fx'?ex?x?1?，e?0恒成立，令fx'?0，则x??1
当x??1时，fx'?0，函数单调减，当x??1时，fx'?0，函数单调增，
则x??1为f(x)的极小值点，故选D
8. 【解析】甲赢和乙赢的可能情况是一样的，所以假设甲赢的情况如下：
若两人进行3场比赛，则情况只有是甲全赢1种情况；
1 若两人进行4场比赛，第4场比赛必为甲赢前3场任选一场乙赢为C3?3种情况；
2 若两人进行5场比赛，第5场比赛必为甲赢前4场任选一场乙赢为C4?6种情况；
综上，甲赢有10种情况，同理，乙赢有10种情况，
则所有可能出现的情况共20种，故选C a2?b2?c22c2?c21?2?，故选C 9. 【解析】cosC?2ab2a?b2
10.【解析】M表示落入扇形的点的个数，1000表示落入正方形的点的个数，
则点落入扇形的概率为
则P???M?， 由几何概型知，点落入扇形的概率为， 100044M，故选D 1000
二． 填空题：把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11. 【答案】1?
1111111????? 22222234566
【解析】观察不等式的左边发现，第n个不等式的左边=1?111， ??L?2232n?1 右边=
12.【答案】1 2?n?1??11111111，所以第五个不等式为1?2?2?2?2?2?. n?1234566
r5?rr232【解析】∵Tr?1?C5ax，令r?2，则T3?C5ax，
223 又∵x的系数为10，则C5a?10，∴a?1
13.【答案】2
【解析】建立如图所示的直角坐标系，使拱桥的顶点O的坐标为（0,0），
设l与抛物线的交点为A、B，根据题意知A（-2，-2），B（2，-2）
设抛物线的解析式为y?ax2，则有?2?a???2?， 2
∴a??112，∴抛物线的解析式为y??x 22
水位下降1米，则y=-3，此时有x?
∴此时水面宽为26米。
14.【答案】2
'【解析】当x?2时，f?x??6或x??6 1，f'?1??1，∴曲线在点(1,0)处的切线为y?x?1 x
则根据题意可画出可行域D如右图：
目标函数y?11x?z， 22
当x?0，y??1时，z取得最大值2
15. （考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）
A．【答案】?2?a?4
【解析】|x?a|?|x?1|?3表示在数轴上，a到1的距离小于等于3，即a??3，则?2?a?4
B．【答案】5
【解析】∵AB?6，则圆的半径为3，连接OD，则OD=3
在直角三角形OED中，ED?OD?OE?5
根据射影定理，在直角三角形EDB中，DF?DB?ED?5
C．【答案】3
【解析】2?cos??1是过点?,0?且垂直于极轴的直线，
2222 又AE?1，则OE=2 ?1?
?2?
?1? ??2cos?是以?1,0?为圆心，1为半径的圆，则弦长=2????3. ?2?
三、解答题 16.【解析】（Ⅰ）∵函数f?x?的最大值是3，∴A?1?3，即A?2。 ∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为
故函数f?x?的解析式为f(x)?2sin(2x?
（Ⅱ）∵f()?2sin(??2?，∴最小正周期T??，∴??2。 2)?1。 ?6??
2?1)?1?2，即sin(??)?， 662
?
6?∵0????
2，∴??
6????
3，∴???
6??
6，故???
3。
17.【解析】（1）设数列?an?的公比为q（q?0，q?1）。
由a5，a3，a4成等差数列，得2a3?a5?a4，即2a1q2?a1q4?a1q3。
由a1?0，q?0得q2?q?2?0，解得q1??2，q2?1（舍去），所以q??2。
（2）证法一：对任意k?N?，
Sk?2?Sk?1?2Sk??Sk?2?Sk???Sk?1?Sk?
?ak?1?ak?2?ak?1
?2ak?1?ak?1???2??0，
所以，对任意k?N?，Sk?2,Sk,Sk?1成等差数列。
证法二：对任意k?N?，2Sk?2a1?1?qk?
1?q，
Sk?2?Sk?1?a1?1?qk?2?
1?q?a1?1?qk?1?
1?q
??a1?2?qk?2?qk?1?1?q ， 2Sk??Sk?2?Sk?1??
?2a1?1?qk?1?qa1?2?qk?2?qk?1?1?qa1?2?1?qk???2?qk?2?qk?1?? ?1?q?
a1qk
2 ??q?q?2??0， 1?q
因此，对任意k?N?，Sk?2,Sk,Sk?1成等差数列。
18. 【解析】（Ⅰ）证法一 如图，过直线b上一点作平面?的垂线n，设直线a，b，c，n
的方向向
量分别是a，b，c，n，则b，c，n共面.根据平面向量基本定理，存在实数?，?使得c??b??n，则a?c?a?(?b??n)??(a?b)??(a?n)，
因为a?b，所以a?b?0，
又因为a??，n??，所以a?n?0，故a?c?0，从而a?c .
证法二 如图，记c?b?A,P为直线b上异于点A的任意一点，过P作PO??,垂足为O,则O?c.?PO??,a??，?直线PO?a，又a?b，b?平面PAO,PO?b?P,?a?平面PAO，又c?平面PAO， ?a?c.
（Ⅱ）逆命题为：a是平面?内的一条直线，b是平面?外的一条直线（b不垂直于?），c是直线b在?上的投影，若a?b，则a?c.逆命题为真命题
y2x2
??1?a?2?19. 【解析】（Ⅰ）由已知可设椭圆C2的方程为a2， 4
a2?43a?4?其离心率为2，故， a2，则
y2x2
??1 C故椭圆2的方程为164
（Ⅱ）解法一 A,B 两点的坐标分别为?xA,yA?,?xB,yB?， 由?2及（Ⅰ）知，O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y?kx.
x242??y2?1中，得1?4k2x2?4，所以xA将y?kx代入， 241?4k??
y2x216222xB???1将y?kx代入4?kx?16中，得，所以4?k2， 164??
22，得xB?4xA，即?2又由1616?， 224?k1?4k
解得 k??1，故直线AB的方程为y?x或y??x
解法二 A,B 两点的坐标分别为?xA,yA?,?xB,yB?， 由AB?2OA及（Ⅰ）知，O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上，
因此可设直线AB的方程为y?kx.
x242??y2?1中，得1?4k2x2?4，所以xA将y?kx代入， 241?4k??
16k2162，yB?，
AB?2OA，得x?22又由1?4k1?4k2
B
y2x24?k2
??1?1，即4?k2?1?4k2， 将x,y代入2中，得1?4k164
2
B
2B
解得 k??1，故直线AB的方程为y?x或y??x
20.【解析】设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，的Y的分布如下：
(1) A
①?? 一个谷歌办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟； ②?? 第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟； ③?? 第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟。
所以P(A)?P(Y?1)P(Y?3)?P(Y?3)P(Y?1)?P(Y?2)P(Y?2)
?0.1?0.3?0.3?0.1?0.4?0.4?0.22
（2）解法一：X所有可能的取值为：0,1,2.
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟， 所以P(X?0)?P(Y?2)?0.5；
X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以
P(X?1)?P(Y?1)P(Y?1)?P(Y?2)=0.1?0.9?0.4?0.49；
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以
P(X?2
)?P(Y?1)P(Y?1)?0.1?0.1?0.01；
所以X的分布列为
EX?0解法二：X所有可能的取值为0,1,2.
X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以
P(X?0)?P(Y?2)?0.5；
X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以
P(X?2)?P(Y?1)P(Y?1)?0.1?0.1?0.01； P(X?1
)?1?P(X?0)?P(X?2)?0.49；
所以X的分布列为
EX?0
21． 【解析】（1）b?1,c??1,n?2时，fn(x)?xn?x?1
1111?fn()fn(1)?(n?)?1?0,?fn(x)在（，1）内存在零点。 2222
又当x?(,1)时，fn(x)?nx1
2'n?1?1?0,
11?fn(x)在（，1）上是单调递增的，?fn(x)在（，1）内存在唯一零点。 22
（2）当n=2时，f2(x)?x2?bx?c 对任意x1,x2?[?1,1]f2(x1)?f2(x2)?4等价于f2(x)在[?1,1]上的最大值与最小值之差M?4,据此分类讨论如下：
(Ⅰ)当b ?1,b?2时，2
M?f2(1)?f2(?1)?2b?4,与题设矛盾。 (Ⅱ) 当-1?-b?0,即0?b?2时， 2
bbM?f2(1)?f2(?)?(?1)2?4,恒成立。 22
(Ⅲ) 当0?-b?1,即-2?b?0时， 2
bbM?f2(-1)?f2(?)?(-1)2?4,恒成立。 22
综上可知，-2?b?2。
注：(Ⅱ) (Ⅲ)也可合并并证明如下：
用max{a,b}表示a,b中的较大者 当-1?-b?1,即-2?b?2时， 2
bM?max{f2(1),f2(?1),f2(?)}2
f(?1)?f2(1)f2(?1)?f2(1)b?2??f2(?)222 2b?1?c?b?(??c)4
b?(1?)2?4恒成立。2
1）内的唯一零点（n?2）（3）证法一：设xn是fn(x)在（，， 1
2
1nn?1fn(xn)?xn?xn?1?0,fn?1(xn?1)?xn?x?1?0,x?(,1) ?1n?1n?12
n?1于是有fn(xn)?0?fn?1(xn?1)?xn?1?xn?！?1?fn(xn?1)，
1）上市递增的，故xn?xn?1(n?2)， 又由（1）知fn(x)在（，
所以，数列x2,x3,....xn,.......是递增数列 12
1）内的唯一零点， 证法二：设xn是fn(x)在（，
n?1n?1nfn?1(xn)fn?1(1)?(xn?xn?1)(1n?1?1?1)?xn?xn?1?xn?xn?1?0， 12
则fn?1(x)的零点xn?1在（xn,1）内，故xn?xn?（）, 1n?2
所以，数列x2,x3,....xn,.......是递增数列
