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一. 教学内容：
三角函数的图象和性质
二. 学习目标：
1、了解正弦、余弦、正切、余切函数的图象的画法，会用“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，理解的物理意义，掌握由函数的图象到函数的图象的变换原理．
2、掌握三角函数的定义域、值域的求法；理解周期函数与最小正周期的意义，会求经过简单的恒等变形可化为或的三角函数的周期．掌握三角函数的奇偶性与单调性，并能应用它们解决一些问题．
3、通过对正弦函数性质的学习，培养“看图说话”的能力，即图形语言、文字语言与符号语言的转换，从而达到从直观到抽象的飞跃。
三. 知识要点
1、三角函数的图象与性质：
y＝sinx y＝cosx y＝tanx
定义域： R R
值域： ［－1，1］ ［－1，1］ R
周期： 2π 2π π
奇偶性： 奇函数 偶函数 奇函数
单调区间：
增区间 ；
减区间 无
对称轴： 无
对称中心：
（以上）
2、
①用五点法作图
0
0
A
0
－A
0
②图象变换：平移、伸缩两个程序
（1）一般地，函数y＝sin（x＋），x∈R（其中≠0）的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左（当＞0时）或向右（当＜0时平行移动｜｜个单位长度而得到，这一变换称为相位变换。
（2）函数y＝sinωx， x?R （ω>0且ω11）的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（ω>1）或伸长（0<ω<1）到原来的倍（纵坐标不变），ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换。
（3）一般地，函数y＝Asin（ωx＋），x∈R（其中A＞0，ω＞0）的图象，可以看作用下面的方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左（当＞0时）或向右（当＜0时平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短（当ω＞1时）或伸长（当0＜ω＜1时到原来的倍（纵坐标不变），再把所得各点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时到原来的A倍（横坐标不变）。
A－－振幅，－－周期，－－频率，，
3、图象的对称性
①的图象既是中心对称图形又是轴对称图形。
②的图象是中心对称图形，有无穷多条垂直于x轴的渐近线。
4、①“五点法”画正弦、余弦函数和函数的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高点、一个最低点；
②给出图象求的解析式的难点在于的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期，进而确定．
5、三角函数式的求值的类型一般可分为：
（1）“给角求值”：给出非特殊角求式子的值。仔细观察非特殊角的特点，找出和特殊角之间的关系，利用公式转化或消除非特殊角
（2）“给值求值”：给出一些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数式的值。找出已知角与所求角之间的某种关系求解
（3）“给值求角”：转化为给值求值，由所得函数值结合角的范围求出角。
（4）“给式求值”：给出一些较复杂的三角式的值，求其他式子的值。将已知式或所求式进行化简，再求之
【典型例题】
例1. 不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0。
（1）sin（－）－sin（－）；
（2）（－）－（－）．
解：（1）∵－＜－＜－＜．
且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数。
∴sin（－）＜sin（－）
即sin（－）－sin（－）＞0
（2）sin（－）＝－sin＝－sin＝－sin＝－sin
sin（－）＝－sin＝－sin
∵0＜＜＜
且函数y＝sinx，当x∈［0，］时是增函数
∴sin＜sin
－ sin－ sin
∴sin（－）－sin（－）＜0
例2. 求下列函数的最值
（1）y＝－9cosx＋1；
（2）
解：（1）∵ －1≤cosx≤1，
∴ －8≤－3cosx＋1≤10。
即， 。
（2） ∵ －1≤cosx≤1，
∴ 当cosx＝时，，
当cosx＝－1时，。
例3. 求函数的单调区间。
解：原函数变形为
令，则只需求的单调区间即可。
（）上
即（）上单调递增，
在上
即上单调递减
故的递减区间为：
递增区间为：.
思维点拔：要注意子函数的单调性，若函数为则变形为即可。
例4. （1）已知函数，该函数的图象可由的图象经怎样的平移和伸缩变换得到？
解：①将函数的图象向左平移得函数的图象；
②将所得图象上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得函数的图象，
③将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得函数的图象，
④将所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象。
（2）如图为某三角函数图象的一段，用正弦函数写出其中一个解析式。
思路分析：由T定，由最值定A，由特殊值定。
解：
由图可知它过点（为其中一个值）
例5. 是否存在实数a，使得函数在闭区间上的最大值是1？若存在，求出对应的a值；若不存在，试说明理由。
解：
当时，，令则，
综上可知，存在符合题意。
本讲涉及的主要数学思想方法
1、正确理解三角函数是以实数为自变量的函数，通过研究三角函数的性质和图象，进一步体会数形结合的思想方法。
2、通过对图象变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。
3、利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讨论等数学思想方法。
【模拟试题】（答题时间：70分钟）
一、选择题
1、函数y＝－x·cosx的部分图象是（ ）
2、函数f（x）＝cos2x＋sin（＋x）是（ ）
A. 非奇非偶函数 B. 仅有最小值的奇函数
C. 仅有最大值的偶函数 D. 既有最大值又有最小值的偶函数
3、若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin（x＋），则原来的函数表达式为（ ）
A. y＝sin（x＋） B. y＝sin（x＋）
C. y＝sin（x－） D. y＝sin（x＋）－
**4、下列命题不正确的是（ ）
A. 是偶函数
B. 是奇函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D. 是偶函数。
*5、①函数在它的定义域内是增函数；②若、是第一象限角，且，则；③函数一定是奇函数；④函数的最小正周期为．上列四个命题中，正确的命题是（ ）
A. ① B. ④ C. ①、② D. ②、③
6、函数的单调减区间为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题
7、设ω＞0，若函数f（x）＝2sinωx在［－，］上单调递增，则ω的取值范围是_______。
8、函数y＝ksinx＋b的最大值为2，最小值为－4，则k，b的值为________。
**9、设函数，给出以下四个论断：
①它的图象关于直线对称；
②它的图象关于点（，0）对称；
③它的最小正周期是；
④在区间[]上是增函数。
以其中两个论断作为条件，余下论断作为结论，写出一个正确的命题：
条件_____________，结论____________。
三、解答题
10、比较与的大小。
*11、求函数的定义域、值域、单调性、周期性、最值。
**12、设关于x的函数y＝2cos2x－2acosx－（2a＋1）的最小值为f（a），试确定满足f（a）＝的a的值，并对此时的a值求y的最大值。
【试题答案】
1、解析：∵函数y＝－xcosx是奇函数，∴图象不可能是A和C，又当x∈（0，）时，y＜0。
答案：D
2、解析：f（x）＝cos2x＋sin（＋x）＝2cos2x－1＋cosx＝2［（cosx＋）－1。
答案：D
3、A
4、D
5、B
6、B
7、解：由－≤ωx≤，得f（x）的递增区间为［－，］，由题设得
8、解：当k>0时
当k<0时 （矛盾，舍去） ∴k＝3 b＝－1
9、②③①④或①③②④
10、解：，
，
又：内单调递增，
11、定义域：
值域：
单调增区间：
单调减区间：
周期：
最值：当
当
12、解：由y＝2（cosx－）2－及cosx∈［－1，1］得：
f（a）＝
∵f（a）＝，
∴1－4a＝a＝［2，＋∞
或－－2a－1＝，解得a＝－1，
此时，y＝2（cosx＋）2＋，
当cosx＝1时，即x＝2kπ，k∈Z，ymax＝5。
