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正规族
normal families
一种特定的全纯函数族，是P.蒙泰尔1912年提出的一种理论，在复变函数论中有着广泛的应用。关于复平面上的点集有以下简单事实:如果是复平面上的一个有界点集（即中的点均位于某一个圆｜｜内），那么从中每一个点序列(＝1,2,…)都可以选出一个子序列[836-500](=1,2，…)收敛到一个极限点。蒙泰尔首先将这个事实推广到在一个区域内一致有界的全纯函数族：如果是在一个区域内的一个一致有界全纯函数族（即存在一个正数使对于中每一个函数(),不等式|()|≤在内成立），那么从中每一个函数序列()(＝1,2,…)都可以选出一个子序列 [836-500]()(=1,2,…)在的内部一致收敛到一个全纯函数。这里,族的意思就是集合；在 的内部一致收敛的意思是“在每一个连同边界都属于 的有界区域内”都一致收敛。蒙泰尔的以上定理在他的正规族理论中起着基本的作用，并在保角映射理论中有重要应用。
蒙泰尔注意到，以上定理中条件|()|≤表示函数（）在区域内不取圆｜｜=外之值,然后他考虑全纯函数族中的函数（）在区域内均不取一个圆|-|内之值的情形，并发现从的每一个函数序列()(=1,2，…)中,都可选出一个子序列[836-500]()(=1，2,…)在的内部一致收敛到一个全纯函数或一致收敛到常量∞。由此他提出了全纯函数正规族的定义：
如果从全纯函数族 的每一个函数序列 ()(＝1,2,…)中，都可以选出一个子序列 [836-500]()(=1,2,…)在 的内部一致收敛到一个全纯函数或一致收敛到常量∞，则区域内的全纯函数族称为在内为正规的。
因此，一个全纯函数族在一个区域内为正规的一个充分条件是[kg2]中的函数在内均不取同一个圆外之值，另一个充分条件是不取 内之值。凡是这样的充分条件都称为正规性定则。经过进一步的研究，蒙泰尔证明了：中的函数在内均不取两个固定的有穷值及，是一个正规性定则。这个定则可使复变函数论中过去看来是松散的几个定理呈现紧密的联系，如从这个定则很容易推出皮卡第一定理：一个非常数的整函数（）取每一个有穷值，最多除去一个例外值。证明方法是引进函数序列[837-01]，如果以上皮卡定理不成立，则根据蒙泰尔的正规性定则，这个函数序列构成在圆｜｜()在一区域0｜＝0为本性奇点,则在此区域内函数()取每一有穷值无穷次,最多除去一个例外值。根据蒙泰尔的正规性定则还可以证明下列朔特基定理:如果一函数()在一圆｜｜内为全纯并且不取值0和1,则在每一圆｜｜(0()的模小于一个只依赖于(0)及θ的正数。由此定理，利用柯西不等式，又可推出兰道定理：如果一函数()满足朔特基定理中条件并且[kg1](0)≠0，则不超过一个只依赖于(0)及(0)的上限。
蒙泰尔引进正规族的概念之后，又进一步引进了拟正规族的概念。全纯函数拟正规族的定义和全纯函数正规族的定义的差别是:不要求子序列 [836-500]()(=1,2,…)在的内部一致收敛，而只要求除去内有穷个点（或无穷个点，但在内没有凝聚点）后,在所余的区域内部一致收敛，然后他将G.维塔列的一个定理推广为：如果在一个区域 的一个全纯函数序列属于一个正规族或拟正规族，并且在内无穷个点收敛到有穷极限,而这无穷个点在内最少有一个凝聚点，则此全纯函数序列在的内部一致收敛。
经过C.卡拉西奥多里、E.G.H.兰道、蒙泰尔及A.奥斯特罗夫斯基的工作，亚纯函数正规族的理论也建立起来。如果一致收敛性是用球面距离来定义，那么亚纯函数正规族的定义如下:如果从亚纯函数族的每一个函数序列()(=1,2,…)中,都可以选出一个子序列[836-500]()(=1,2,…)在一个区域的内部一致收敛，则内的亚纯函数族称为在内为正规的。关于亚纯函数族蒙泰尔的正规性定则是：中的函数在内均不取三固定的值，及（有穷或无穷）类似地也可以给出亚纯函数拟正规族的定义。
全纯函数正规族及亚纯函数正规
族的理论已经发展到完善的地步。这个理论中的一个重要研究问题是寻求新的正规性定则。关于这个问题已有许多工作，在这方面,A.布洛赫的下列猜测很有指导意义：如果是一个性质，非常数的整函数不具有性质,那么在一个区域内具有性质 的全纯函数族是正规的。这个猜测在一些例子中都是对的。例如，与关于整函数的刘维尔定理相应的是以上蒙泰尔的关于一致有界的全纯函数族的定理；与关于整函数的皮卡定理相应的是以上蒙泰尔的关于有两个例外值的全纯函数族的定则。此外，布洛赫还根据他的下列定理：如果函数()于｜｜(0)=0并且(0)＝1，则存在一个半径大于一绝对常数的圆，在其中函数()的反函数有一分支为全纯；推出了一个新的正规性定则：在一个区域 的全纯函数族,如果 中的函数的反函数的全纯圆域的半径小于一个固定的常数，那么在为正规。
参考书目
P.Montel,Lons sur les Familles Normales de Fonctions Analytiques et Leurs Applications, Gauthier-Villars,Paris, 1927.
G.Valiron,Familles Normales et Quasi-normales de Fonctions Mromorphes,Mmorial des Sc. Math., fasc.38, Gauthier-Villars, Paris, 1929.
庄圻泰
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